題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分6分，請在下列兩個小題中，任選其一完成即可）| 13 |
| 13 |
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(本小題滿分8分)
某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠圍墻(墻的長度不限)，另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD。已知木欄總長為120米，設AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．
1.(1)求S與x之間的函數關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)．當x為何值時，S取得最值(請指出是最大值還是最小值)?并求出這個最值；
2.(2)學校計劃將苗圃內藥材種植區(qū)域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓，其圓心分別為
和
，且到AB、BC、AD的距離與到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃內藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習．當(l)中S取得最值時，請問這個設計是否可行?若可行，求出圓的半徑；若不可行，清說明理由．
(本小題滿分12分)
如圖，在平面直角坐標系
中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知
，
，△ABC的面積
，拋物線
經過A、B、C三點。
1.(1)求此拋物線的函數表達式；
2.(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為
？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
(本小題滿分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為
(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．
(1)如圖1，當AB∥CB1時，設A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；
(2)如圖2，連接AA1、BB1，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．
求證：S1∶S2＝1∶3；
(3)如圖3，設AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當等于多少度時，EP的長度最大，最大值是多少？
一、選擇題
1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C
二、填空題
13．9 14．
15． BD=CD，OE=OF，DE∥AC等 16．4 17．15
三、解答題
18．
（1）解：
................................................ 1分
...................................................... 2分
....................................................... 3分
（2）解：解①得
＞－2 ................................................ 4分
解②得＜3 .................................................. 5分
∴此不等式組的解集是－2＜x＜3 ................................... 6分
解集在數軸上表示正確 .............................................. 7分
19．
（1）證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF
∵AC∥DF，∴∠F=∠ACB ............................................ 1分
∵BE=CF，∴BE+EC= CF + EC即BC=EF ............................... 2分
∴△ABC≌△DEF
∴AB=DE............................. 3分
（2）解：過點O作OG⊥AP于點G
連接OF ........................... 4分
∵ DB=10，∴ OD=5
∴ AO=AD+OD=3+5=8
∵∠PAC=30°
∴ OG=
AO=
cm............... 5分
∵ OG⊥EF，∴ EG=GF
∵ GF=
∴ EF=
20．解：組成的所有坐標列樹狀圖為：
.................... 5分
或列表為：
.................... 5分
方法一：根據已知的數據，點
不在第二象限的概率為
方法二：1－
................................................. 8分
21．解：設康乃馨每支元，水仙花每支
元 ............................. 1分
由題意得：
......................................... 4分
解得：
..................................................... 6分
第三束花的價格為
................................ 7分
答：第三束花的價格是17元． ...................................... 8分
22．解:（1）設CD為千米，
由題意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°
∴AD=CD=x .................... 1分
在Rt△BCD中，tan30°=
∴ BD=
................... 2分
AD+DB=AB=40
∴ 
............... 3分
解得 ≈14.7
∴ 牧民區(qū)到公路的最短距離CD為14.7千米． ......................... 4分
（若用分母有理化得到CD=
（2）設汽車在草地上行駛的速度為
，則在公路上行駛的速度為3，
在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴ AC=
CD
方案I用的時間
........................ 5分
方案II用的時間
..................................... 6分
∴ 
=
.................................................... 7分
∵ 
＞0
∴ 
＞0 ...................................................... 8分
∴方案I用的時間少，方案I比較合理 ............................... 9分
23．解：（1）
.......................................... 1分
解得：
.................................................. 2分
∴點P的坐標為(2，
) ........................................... 3分
（2）將
代入
∴ 
，即OA=4................................................... 4分
做PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2
∵ tan∠POA=
∴ ∠POA=60° ................................................... 5分
∵ OP=
∴△POA是等邊三角形． ............ 6分
（3）① 當0<t≤4時，如圖1
在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=
t，OF=
t
∴S=?OF?EF=
.............. 7分
當4<t<8時，如圖2
設EB與OP相交于點C
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t
∴AF=4－
，EF=(8－t)
∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t
∴S=(CE+OF)?EF
=
(t－4+t)×
(8－t）
=－
+4
t－8................ 8分
② 當0<t≤4時，S=
， t=4時，S最大=2
當4<t<8時，S=－+4t－8=－(t－
)
+
t=時，S最大=
∵>2，∴當t=時，S最大=........................... 9分
24．解：(1)設拋物線的解析式為
......................... 1分
將A(－1，0)代入: 
∴ 
.................... 2分
∴ 拋物線的解析式為
，即：
.............. 3分
（2）是定值，
........................................... 4分
∵ AB為直徑，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE
∴ △APM∽△ABE，∴ 
①
同理: 
② .............................................. 5分
① + ②:
.................................... 6分
（3）∵ 直線EC為拋物線對稱軸，∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB為等腰直角三角形．
∴ ∠EAB=∠EBA=45° ........... 7分
如圖，過點P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°
∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
∴ 
∴ 
①.......... 8分
在△MEP和△EGF中，
∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP
∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴
②
由①、②知：
.............................................. 9分
（本題若按分類證明，只要合理，可給滿分）
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