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如圖，一科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=

1

3

，在距離港口O為3

13

a（a為正常數(shù)）海里北偏東β角的A處有一個供科學考察船物資的小島，其中cosβ=

2

13

，現(xiàn)指揮部緊急征調沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科學考察船，該船沿BA方向不變追趕科學考察船，并在C處相遇．經(jīng)測算，當兩船運行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時，補給最合適．
（1）求S關于m的函數(shù)關系式S（m）；
（2）當m為何值時，補給最合適？

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如圖，一科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=，在距離港口O為3a（a為正常數(shù)）海里北偏東β角的A處有一個供科學考察船物資的小島，其中cosβ=，現(xiàn)指揮部緊急征調沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科學考察船，該船沿BA方向不變追趕科學考察船，并在C處相遇．經(jīng)測算，當兩船運行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時，補給最合適．
（1）求S關于m的函數(shù)關系式S（m）；
（2）當m為何值時，補給最合適？

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如圖，一科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=，在距離港口O為3a（a為正常數(shù)）海里北偏東β角的A處有一個供科學考察船物資的小島，其中cosβ=，現(xiàn)指揮部緊急征調沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科學考察船，該船沿BA方向不變追趕科學考察船，并在C處相遇．經(jīng)測算，當兩船運行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時，補給最合適．
（1）求S關于m的函數(shù)關系式S（m）；
（2）當m為何值時，補給最合適？

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如圖，一科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=，在距離港口O為3a（a為正常數(shù)）海里北偏東β角的A處有一個供科學考察船物資的小島，其中cosβ=，現(xiàn)指揮部緊急征調沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科學考察船，該船沿BA方向不變追趕科學考察船，并在C處相遇．經(jīng)測算，當兩船運行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時，補給最合適．
（1）求S關于m的函數(shù)關系式S（m）；
（2）當m為何值時，補給最合適？

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    例10  為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……

    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解  設月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                                            

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．   
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當月的計劃還款數(shù)2210.59元，當月共還款43880.12元．        

    需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數(shù)超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

  已知：lg2=0.3010．

講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數(shù)為, 則由

兩邊取對數(shù)得    n27.5,

   即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.

（2）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為,

再經(jīng)過x天后小白鼠體內病毒細胞為,

由題意≤10⁸，兩邊取對數(shù)得

，

     故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．

       本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.

     例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù).

（1）當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)； 

（2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重； 

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？

 講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(0)-=0, ∴g(0)=   .                                        

(2) 我們易證得0<t₁<t₂, 則

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,

∵g(0)?<0,t₁<t₂,e>e,

∴g(t₁)<g(t₂)   .                                                                                                

故湖水污染質量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.                              

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.

高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當然,數(shù)學高考應用性問題關注當前國內外的政治,經(jīng)濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.

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