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平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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平面圖形ABB₁A₁C₁C如下圖1所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC＝2，BB₁＝4，AB＝AC＝，A₁B₁＝A₁C₁＝．現將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使ΔABC與ΔA₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接AA₁，BA₁，CA₁，得到如下圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．

(Ⅰ)證明：AA₁⊥BC；

(Ⅱ)求AA₁的長；

(Ⅲ)求二面角A－BC－A₁的余弦值．

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如圖平面SAC⊥平面ACB，△SAC是邊長為4的等邊三角形，△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，BC=4

2

，求二面角S-AB-C的余弦值．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                                    …… 2分

                                               …… 4分       

             .                                              …… 6分

∴.                                                       …… 8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 .                      ……10分

此時，即Z.                        ……12分

17．(本小題滿分12分)

解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件，.             ……3分

即這箱產品被用戶接收的概率為．                                  ……4分

（2）的可能取值為1，2，3．                                            ……5分

=，                                                 

=，                                             

=，                                            ……8分

∴的概率分布列為：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵點A、D分別是、的中點，

∴.                                        …… 2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                    

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中點，連結、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

設平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                            …… 2分           

      ∵,

∴.                                        …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                                    …… 6分

（2）∵ 點關于直線的對稱點為，

∴                                            ……8分

解得：，.                                 ……10分

∴.                                                ……12分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                  ……14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）數表中前行共有個數，

即第i行的第一個數是，                                       …… 2分

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                                         …… 4分

令,    

解得．                                      …… 6分

（2）∵

．                                          …… 7分

∴．                   

當時, , 則;

當時, , 則;

當時, , 則;

當時, 猜想: .                                  …… 11分

下面用數學歸納法證明猜想正確.

① 當時,, 即成立;

② 假設當時, 猜想成立, 即,

  則,

∵,

∴.

即當時，猜想也正確.

由①、②得當時, 成立.

當時,.                                               …… 13分

綜上所述, 當時, ; 當時,.          …… 14分

另法( 證明當時, 可用下面的方法):

當時, C + C + C+ C

                     .

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                     …… 2分                   

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.                    …… 4分   

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                       

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴