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已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球半徑為

[　　]

A．3

B．4

C．5

D．6

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已知一幾何體的三視圖如圖，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇5個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的5個頂點，這些幾何形體是（寫出所有正確結論的編號）

①③④

①③④

．（其中a≠b）
①每個側面都是直角三角形的四棱錐；
②正四棱錐；
③三個側面均為等腰三角形與三個側面均為直角三角形的兩個三棱錐的簡單組合體
④有三個側面為直角三角形，另一個側面為等腰三角形的四棱錐．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                                    …… 2分

                                               …… 4分       

             .                                              …… 6分

∴.                                                       …… 8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 .                      ……10分

此時，即Z.                        ……12分

17．(本小題滿分12分)

解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件，.             ……3分

即這箱產品被用戶接收的概率為．                                  ……4分

（2）的可能取值為1，2，3．                                            ……5分

=，                                                 

=，                                             

=，                                            ……8分

∴的概率分布列為：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵點A、D分別是、的中點，

∴.                                        …… 2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                    

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中點，連結、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

設平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                            …… 2分           

      ∵,

∴.                                        …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                                    …… 6分

（2）∵ 點關于直線的對稱點為，

∴                                            ……8分

解得：，.                                 ……10分

∴.                                                ……12分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                  ……14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）數表中前行共有個數，

即第i行的第一個數是，                                       …… 2分

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                                         …… 4分

令,    

解得．                                      …… 6分

（2）∵

．                                          …… 7分

∴．                   

當時, , 則;

當時, , 則;

當時, , 則;

當時, 猜想: .                                  …… 11分

下面用數學歸納法證明猜想正確.

① 當時,, 即成立;

② 假設當時, 猜想成立, 即,

  則,

∵,

∴.

即當時，猜想也正確.

由①、②得當時, 成立.

當時,.                                               …… 13分

綜上所述, 當時, ; 當時,.          …… 14分

另法( 證明當時, 可用下面的方法):

當時, C + C + C+ C

                     .

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                     …… 2分                   

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.                    …… 4分   

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                       

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴