題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數(shù)
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．
4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9．學).files/image207.gif)
10．學).files/image209.gif)
11．學).files/image211.gif)
12. 學).files/image213.gif)
13. 學).files/image215.gif)
14．學).files/image217.gif)
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答學).files/image219.gif)
或學).files/image221.gif)
Z學).files/image115.gif)
等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵學).files/image224.gif)
學).files/image226.gif)
…… 2分
學).files/image228.gif)
…… 4分
學).files/image230.gif)
.
…… 6分
∴學).files/image232.gif)
.
…… 8分
(2) 當學).files/image234.gif)
時, 學).files/image117.gif)
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時學).files/image237.gif)
，即學).files/image239.gif)
學).files/image241.gif)
Z.
……12分
17．(本小題滿分12分)
解：（1）設“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件學).files/image060.gif)
，學).files/image245.gif)
. ……3分
即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為學).files/image247.gif)
．
……4分
（2）學).files/image121.gif)
的可能取值為1，2，3．
……5分
學).files/image250.gif)
=學).files/image252.gif)
，
學).files/image254.gif)
=學).files/image256.gif)
，
學).files/image258.gif)
=學).files/image260.gif)
，
……8分
∴的概率分布列為：
1
2
3
……10分
學).files/image104.gif)
學).files/image265.gif)
學).files/image267.gif)
學).files/image269.gif)
∴學).files/image271.gif)
=學).files/image273.gif)
．
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵點A、D分別是學).files/image129.gif)
、學).files/image131.gif)
的中點，
∴學).files/image275.gif)
.
…… 2分
∴∠學).files/image277.gif)
=90º.
∴學).files/image279.gif)
.
∴ 學).files/image281.gif)
,
∵學).files/image283.gif)
,
∴學).files/image154.gif)
⊥平面學).files/image286.gif)
. …… 4分
∵學).files/image288.gif)
平面,
∴學).files/image291.gif)
.
…… 6分
（2）法1：取學).files/image293.gif)
的中點學).files/image295.gif)
，連結學).files/image297.gif)
、學).files/image299.gif)
．
學).files/image301.gif)
∵學).files/image303.gif)
,
∴學).files/image305.gif)
.
∵學).files/image307.gif)
,
∴學).files/image309.gif)
平面學).files/image124.gif)
.
∵學).files/image312.gif)
平面,
∴學).files/image315.gif)
.
…… 8分
∵學).files/image317.gif)
∴學).files/image319.gif)
平面學).files/image321.gif)
.
∵學).files/image323.gif)
平面,
∴學).files/image325.gif)
.
∴∠學).files/image327.gif)
是二面角學).files/image157.gif)
的平面角. ……10分
在Rt△學).files/image133.gif)
中, 學).files/image331.gif)
，
在Rt△中, 學).files/image334.gif)
，
學).files/image336.gif)
. ……12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是學).files/image338.gif)
. ……14分
學).files/image340.gif)
法2：建立如圖所示的空間直角坐標系學).files/image342.gif)
．
則學).files/image344.gif)
（－1，0，0），學).files/image056.gif)
（－2，1，0），（0，0，1）.
∴學).files/image348.gif)
=（－1，1，0），學).files/image350.gif)
=（1，0，1）,
……8分
設平面學).files/image352.gif)
的法向量為學).files/image354.gif)
=（x，y，z），則：
學).files/image356.gif)
，
……10分
令學).files/image358.gif)
，得學).files/image360.gif)
，
∴=（1，1，－1）.
顯然，學).files/image362.gif)
是平面學).files/image364.gif)
的一個法向量，=（學).files/image367.gif)
學).files/image369.gif)
）．
……12分
∴cos<，>=學).files/image372.gif)
．
∴二面角的平面角的余弦值是. ……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,學).files/image374.gif)
…… 2分
∵學).files/image376.gif)
,
∴學).files/image378.gif)
.
…… 4分
∴所求橢圓的方程為學).files/image380.gif)
.
…… 6分
（2）∵ 點學).files/image172.gif)
關于直線學).files/image174.gif)
的對稱點為學).files/image176.gif)
，
∴ 學).files/image383.gif)
……8分
解得：學).files/image385.gif)
，學).files/image387.gif)
.
……10分
∴學).files/image389.gif)
.
……12分
∵
點在橢圓:上,
∴學).files/image391.gif)
, 則學).files/image393.gif)
.
∴學).files/image178.gif)
的取值范圍為學).files/image396.gif)
.
……14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）數(shù)表中前學).files/image398.gif)
行共有學).files/image400.gif)
個數(shù)，
即第i行的第一個數(shù)是學).files/image184.gif)
，
…… 2分
∴學).files/image180.gif)
＝學).files/image403.gif)
．
∵學).files/image405.gif)
，＝2010，
∴ i＝11． …… 4分
令學).files/image407.gif)
,
解得學).files/image409.gif)
．
…… 6分
（2）∵學).files/image186.gif)
學).files/image411.gif)
學).files/image413.gif)
．
…… 7分
∴學).files/image415.gif)
．
當學).files/image417.gif)
時, 學).files/image419.gif)
, 則學).files/image421.gif)
;
當學).files/image423.gif)
時, , 則;
當學).files/image427.gif)
時, , 則;
當學).files/image430.gif)
時, 猜想:
學).files/image432.gif)
.
…… 11分
下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確.
① 當學).files/image434.gif)
時,學).files/image436.gif)
, 即成立;
② 假設當學).files/image439.gif)
時, 猜想成立,
即學).files/image441.gif)
,
則學).files/image443.gif)
,
∵學).files/image445.gif)
,
∴學).files/image447.gif)
.
即當學).files/image449.gif)
時，猜想也正確.
由①、②得當學).files/image451.gif)
時, 成立.
當時,學).files/image455.gif)
學).files/image194.gif)
.
…… 13分
綜上所述, 當學).files/image458.gif)
時, ; 當時,.
…… 14分
另法( 證明當時, 可用下面的方法):
當時, 學).files/image460.gif)
C學).files/image462.gif)
+ C學).files/image464.gif)
+ C學).files/image466.gif)
+ C學).files/image468.gif)
學).files/image470.gif)
學).files/image472.gif)
學).files/image474.gif)
.
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當學).files/image201.gif)
時，學).files/image477.gif)
，
∴學).files/image479.gif)
學).files/image481.gif)
.
令=0, 得 學).files/image483.gif)
.
…… 2分
當學).files/image485.gif)
時,學).files/image487.gif)
, 則學).files/image203.gif)
在學).files/image490.gif)
上單調遞增;
當學).files/image492.gif)
時,學).files/image494.gif)
, 則在學).files/image496.gif)
上單調遞減;
當學).files/image498.gif)
時,, 在學).files/image500.gif)
上單調遞增.
…… 4分
∴ 當學).files/image502.gif)
時, 取得極大值為學).files/image505.gif)
學).files/image507.gif)
;
當學).files/image509.gif)
時, 取得極小值為學).files/image512.gif)
學).files/image514.gif)
. …… 6分
（2） ∵ = 學).files/image516.gif)
，
∴△= 學).files/image518.gif)
= 學).files/image520.gif)
.
① 若a≥1，則△≤0， …… 7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）學).files/image522.gif)
，學).files/image524.gif)
,
∴當a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． …… 9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當學).files/image018.gif)
變化時，學).files/image527.gif)
的取值情況如下表：
x
學).files/image529.gif)
x1
（x1，x2）
x2
學).files/image531.gif)
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
…… 11分
∵學).files/image533.gif)
,
∴學).files/image535.gif)
.
∴學).files/image537.gif)
學).files/image539.gif)
學).files/image541.gif)
學).files/image543.gif)
學).files/image545.gif)
.
同理學).files/image547.gif)
學).files/image549.gif)
.
∴
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