題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知P是正方形ABCD外一點，且PA=3，PB=4，則PC的最大值是___________．
如圖：已知P是正方形ABCD所在平面外一點，點P在平面ABCD內的射影O是正方形的中心，PO=OD=a，E是PD的中點
圖3-1-6
求證:PA⊥EF.
某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點，（1）根據三視圖，將該幾何體直觀圖的頂點字母補全，并求其體積；
（2）在直觀圖中，證明：PD∥平面AGC；
（3）證明：平面PBD⊥平面AGC．
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.D 12.A
13. 
14.arccos
15.B 16.①②③
17.解：解：（1）連結BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD邊AD，AB的中點，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C，………6分
∴EF⊥平面GMC．
（2）可證BD∥平面EFG，，正方形中心O到平面EFG
………12分
18． 解：（1）∵PA＝CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC．
………………2分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC． ……5分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 6分
（2）證法一：
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，∴EM∥平面PAB． ………8分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，
∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB． …… 10分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．…… 12分
證法二：
延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點． ……8分
∵E為PD中點，∴EC∥PN．……10分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB． ……… 12分
19.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD2=AD2+AB2-2AD?ABcos60°
=4+16-2×2×4×
=12。∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。………3分
在△PDB中，PD=
，PB=
，BD=
，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。………6分
（2）∵BD⊥平面PAD，BD
平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD。………8分
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=?
=
。………10分
作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P―BC―A的平面角。
又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=
=
=
。
故二面角P―BC―A的大小為arctan。………12分
20.解 （1）∵D′―AE―B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE。
作D′O⊥AE于O，連 OB，
∴D′O⊥平面ABCE。
∴∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角。
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中點，
AO=OE=D′O=
a, ∠D′AE=∠BAO=45°。………2分
∴在△OAB中，OB=
=
=
a。
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=
=
。………4分
（2）連結BE∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，………6分
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。………8分
(3)C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半即BE=a………12分
21．解 （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。
故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。………3分
（2）如圖7-14，取PD中點E，連結AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，
∴EN∥CD∥AB ∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE。
在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線。 ∴AE⊥PD。
又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。 ∴MN⊥平面PCD。………7分
（3）∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角。
由三垂線定理知PB⊥BC，設AB=x(x>0)。∴tan∠PCB=
=
。
又∵
∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。
又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈（
，
），
即異面直線PC，AD所成的角的范圍為（，）。………12分
22.（1）證明：由四邊形
為菱形，
，可得
為正三角形．
因為
為
的中點，所以
．
又
，因此
．
因為
平面，
平面，所以
．
而
平面
，
平面且
，
所以
平面．又
平面，
所以
．………6分
（2）解：設
，
為
上任意一點，連接
．
由（1）知平面，
則
為
與平面所成的角．
在
中，
，
所以當
最短時，最大，
即當
時，最大．
此時
，
因此
．又
，所以
，
所以
．因為平面，平面
，
所以平面
平面．
過作
于
，則
平面，
過作
于
，連接
，則
為二面角
的平面角，
在
中，
，
，
又
是
的中點，在
中，
，
又
，在
中，
，
即所求二面角的余弦值為
．………14分
本題也可以用向量法解：以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。
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