題目列表(包括答案和解析)
已知函數
．（
）
（1）若
在區間
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）若在區間
上，函數的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則
在區間上恒成立，然后分離參數法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于
在區間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區間上單調遞增，
則在區間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區間
上是增函數，并且在該區間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區間上恒有
，從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數的圖象恒在直線下方．
已知函數
．
（1）試求
的值域；
(2)設
，若對
，
，恒
成立，試求實數
的取值范圍
【解析】第一問利用
第二問中若
，則
，即當
時，
，又由（Ⅰ）知
若對，，恒有成立，即
轉化得到。
解：（1）函數可化為,
……5分
(2) 若，則
，即當時，，又由（Ⅰ）知． …………8分
若對，，恒有成立，即，
，即
的取值范圍是
某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函數圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關系）．根據圖象提供的信息解答下列問題：已知函數
，
（1）求函數
的定義域；
（2）求函數在區間
上的最小值；
（3）已知
，命題p：關于x的不等式
對函數的定義域上的任意
恒成立；命題q：指數函數
是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．
【解析】第一問中，利用由
即
第二問中，
，
得：
，
第三問中，由在函數的定義域上
的任意，
，當且僅當
時等號成立。當命題p為真時，
；而命題q為真時：指數函數
．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時；當命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函數的定義域上
的任意，
，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數函數．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時，
當命題p為假，命題q為真時，
，
所以
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