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已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即邊的長度為。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即證。

17． 解：（1）∵函數的圖象的對稱軸為要使在區間上為增函數，當且僅當且。

依條件可知試驗的全部結果為，即

共15個整點。

所求事件為，即共5個整點，∴所求事件

的概率為。

（2）隨機變量的取值有：2，3，4，5，6。的隨機分布列為：

2

3

4

5

6

隨機變量的期望。

18．解法一：（1）易求，從而，由三垂線定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，設點在面內的射影為，過作于，連結，則為二面角的平面角。在中由面積法易求，由體積法求得點到面的距離是

，所以，所以求二面角的大小為。

法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作交于，連結。則易證為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小為。

（3）設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P―BFD的體積的最小。。

解法二：空間向量解法，略。

19.解：（1）

當時，

當時，此時函數遞減；當時，此時函數遞增；當時，取極小值，其極小值為0。

（2）由（1）可知函數和的圖像在處有公共點，因此若存在和的分界直線，則該直線過這個公共點。設分界直線的斜率為則直線方程為即由可得當時恒成立

由得。

下面證明當時恒成立。

令則

當時，。當時，此時函數遞增；當時，此時函數遞減；當時，取極大值，其極大值為0。

從而即恒成立。

函數和存在唯一的分界直線。

20．解：（1）設橢圓的標準方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。

（2）設，則圓方程為,與圓聯立消去得的方程為，過定點。

（3）將與橢圓方程聯立成方程組消去得：

,設，則。

，

所以。

故存在定點，使恒為定值。

21．解：（1）法一：數學歸納法；

法二：

所以為首項為公比為2的等比數列，

，即證。

法三：，兩邊同除以，轉化為疊加法求數列通項類型。

（2）法一：容易證明單調遞增，。由函數割線斜率與中點切線斜率的關系想到先證，即證，即證

。令下證。事實上，構造函數，則

，，所以在上單調遞增，故，則，即證。

于是由有，

（因為）。

法二：要證，即證

，聯想到熟悉的不等式（證明如法一）。令，則 ，即證

，下同方法一。

法三：聯想到熟悉的不等式（證略）。令，則

，即證而，但驗算當時不成立。故單獨驗證時原不等式成立，經驗證成立。下用數學歸納法證成立。

由，則，作差有。

①當時，成立。

②假設時，，則

當時，，

下證，顯然。所以，命題對時成立。綜上①②即證。