題目列表(包括答案和解析)
如圖正方體ABCD-
中，E、F、G分別是
、AB、BC的中點．
（1）證明：
⊥EG；
（2）證明：⊥平面AEG；
（3）求
，
．
中，E、F、G分別是
、AB、BC的中點．
⊥EG；⊥平面AEG；
，
．
如圖ABCD正方形，邊長為1，EC⊥平面ABCD，EC∥AF，且λEC=AF（λ＞1），
如圖，已知A、B、C、D四點共圓，延長AD和BC相交于點E，AB=AC．1．D 2．C 3．D 4．（理）D （文）A 5．C 6．B 7．C 8．（理）C （文）A 9．（理）B （文）D 10．A 11．C 12．D
13．-2 14．6∶2∶
15．（文）7 （理）a≥3 16．（文）a≥3（理）1
17．解析：（1）
．
解不等式
．
得
∴ f（x）的單調增區間為
，
．
（2）∵ 
，
]， ∴ 
．
∴ 當
即
時，
．
∵ 3＋a＝4，∴ a＝1，此時．
18．解析：由已知得
，
，
．
∴ 
．
欲使夾角為鈍角，需
．
得 
．
設
．
∴ 
，∴ 
．
∴ 
，此時
．
即時，向量
與
的夾角為p ．
∴ 夾角為鈍角時，t的取值范圍是（-7，
）
（，
）．
19．解析：（甲）取AD的中點G，連結VG，CG．
（1）∵ △ADV為正三角形，∴ VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
∴ VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
設AD＝a，則
，
．
在Rt△GDC中，
．
在Rt△VGC中，
．
∴ 
．
即VC與平面ABCD成30°．
（2）連結GF，則
．
而 
．
在△GFC中，
． ∴ GF⊥FC．
連結VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，
．
∴ ∠VFG＝45°． 二面角V-FC-B的度數為135°．
（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG＝3．
此時
，
，
，
．
∴ 
，
．
∵ 
，
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
即B到面VCF的距離為
．
（乙）以D為原點，DA、DC、
所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設正方體
棱長為a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
（0，0，a），E（a，a，
），F（a，，0），G（，a，0）．
（1）
，，-a），
，0，
，
∵ 
，
∴ 
．
（2）
，a，），
∴ 
．
∴ 
．
∵ 
，∴ 
平面AEG．
（3）由，a，），
＝（a，a，
），
∴ 
，
．
20．解析：依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用．
（1）設公寓投入使用后n年可償還全部貸款，則公寓每年收費總額為1000×80（元）＝800000（元）＝80萬元，扣除18萬元，可償還貸款62萬元．
依題意有 
…
．
化簡得
．
∴ 
．
兩邊取對數整理得
．∴ 取n＝12（年）．
∴ 到2014年底可全部還清貸款．
（2）設每生和每年的最低收費標準為x元，因到2010年底公寓共使用了8年，
依題意有
…
．
化簡得
．
∴ 
（元）
故每生每年的最低收費標準為992元．
21．解析：（1）
，
而 
，
∴ 
．
∴ {
}是首項為
，公差為1的等差數列．
（2）依題意有
，而
，
∴ 
．
對于函數
，在x＞3.5時，y＞0，
，在（3.5，
）上為減函數．
故當n＝4時，
取最大值3
而函數在x＜3.5時，y＜0，
，在（
，3.5）上也為減函數．
故當n＝3時，取最小值，
＝-1．
（3）
，
，
∴ 
．
22．解析：（1）雙曲線C的右準線l的方程為：x＝
，兩條漸近線方程為：
．
∴ 兩交點坐標為 
，
、
，
．
∵ △PFQ為等邊三角形，則有
（如圖）．
∴ 
，即
．
解得 
，c＝2a．∴ 
．
（2）由（1）得雙曲線C的方程為把
．
把
代入得
．
依題意 
∴ 
，且
．
∴ 雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長為
∵ 
．
∴ 
．
整理得 
．
∴ 
或
．
∴ 雙曲線C的方程為：
或
．
（文）（1）設B點的坐標為（0，
），則C點坐標為（0，＋2）（-3≤≤1），
則BC邊的垂直平分線為y＝＋1 ①
②
由①②消去，得
．
∵ 
，∴ 
．
故所求的△ABC外心的軌跡方程為：
．
（2）將
代入得
．
由
及
，得
．
所以方程①在區間
，2
有兩個實根．
設
，則方程③在，2上有兩個不等實根的充要條件是：
之得
．
∵ 
∴ 由弦長公式，得
又原點到直線l的距離為
，
∴ 
∵ ，∴ 
．
∴ 當
，即
時，
．
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