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直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，，．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求二面角A-A₁C-D的大小．

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已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=，．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

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直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=

3

，A1A=

3

．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求二面角A-A₁C-D的大小．

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（2011•河北區一模）已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=

3

，A1A=

3

．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

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第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

文A

理D

A

D

C

D

A

文C

理B

A

B

D

文C

理C

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

14.(理)3  （文）    14.2         15.       16. ③④

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17．本小題滿分10分

解：(Ⅰ)∵m⊥n，

       ∴m?n=(,cosA+1)?(sinA,－1)=sinA－(cosA+1)=0，

       ∴sinA－cosA=1，………………………………………………………………2分

       ∴sin(A－)=．…………………………………………………………………3分

       ∵0<A<p，∴，∴，………………………………5分

       ∴A=．……………………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)在△ABC中，A=，a=2，cosB=，

       ∴sinB=．……………………………………………7分

       由正弦定理知：，…………………………………………………8分

       ∴b=，∴b=．……………………………………10分

18．(本小題滿分12分)

解：（1）由甲射手命中目標的概率與距離的平方成反比，可設，

∵，∴，   ………………………………………    2分

∴，. ………………………………………………   4分

∴，.……………………………  6分

（2）（理）的所有可能取值為0，1，2，3.

, ……………………………   7分

，  …………………………………  8分

，  ……………………………………………   9分

.   ……………………………………………………………  10分

∴. …………………… 12分

（文）記“射手甲在該射擊比賽中能得分”為事件A，則

，……………………  9分

∴. ………………………… 12分

19．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)證明：連接AC₁，設AC₁∩A₁C=E，連接DE．………………1分

∵A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，且AC=AA₁=，

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點，

又D為AB中點，∴ED∥BC₁．……………………………………3分

又EDÌ平面A₁CD，BC₁Ë平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD．…………………………………………………4分

(Ⅱ)解法一：設H是AC中點，F是EC中點，連接DH，HF，FD．……5分

∵D為AB中點， ∴DH∥BC，同理可證HF∥AE，又AC⊥CB，故DH⊥AC．

又側棱AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥DH，      ∴DH⊥平面AA₁C₁C．…………………7分

由(Ⅰ)得AA₁C₁C是正方形，則A₁C⊥AE，∴A₁C⊥HF．

∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，∴DF⊥A₁C．

∴∠DFH是二面角A―A₁C―D的平面角．…8分

又DH=，HF=．…10分

∴在直角三角形DFH中，tan∠DFH=．…11分

∴二面角A―A₁C―D的大小為arctan．……………………12分

解法二：在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，∵AC⊥CB，∴分別以CA，CB，CC₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系C?xyz．因為BC=1，AA₁=AC=，則

C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0,1,0)，D，…………5分

設平面A₁DC的法向量為n=(x,y,z)，則

       ，       …………………………6分

∵=，=(,0,)，

∴ ，則．…7分

取x=1，得平面A₁DC的一個法向量為n=(1,－,－1)，…………9分

m==(0,1,0)為平面CAA₁C₁的一個法向量．………………………10分

cos<m?n>=．………………………………11分

由圖可知，二面角A―A₁C―D的大小為arccos．………………12分

20．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)∵a_n+1= f()=．…………………………3分

∴{a_n}是以為公差的等差數列．

又a₁=1，∴a_n=．  ………………………………………(理)5分(文)6分

(Ⅱ) (理)當n≥2時，，

又b₁==，

∴S_n=b₁+b₂+???+b_n=．…8分

∵S_n<，對nÎN^*成立．

∵關于n遞增，且當n®+∞時，及，

∴，m≥2009．∴最小正整數m=2009．………………………12分

（文）T_n=a₂(a₁－a₃)+a₄(a₃－a₅)+???+a_2n(a_2n-1－a_2n+1)

=－(a₂+a₄+???+a_2n) ………………………………………………8分

=．…………………………………12分

21．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)由得(a²+b²)x²－2a²x+a²－a²b²=0，…………………2分

設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，AB中點為M(x₀，y₀)．

∴x₁+x₂=，x₀=，y₀=－x₀+1=，……………………4分

∴M(，)，代入x－2y=0

得a²=2b²，∴，……………………………………………………5分

∴e=．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓方程可化為， ……………………………7分

所以右焦點F₂(b，0)關于直線l：x－2y=0的對稱點F₂′(b，b)，……9分

將其代入x²+y²=4，得(b)²+(b)²=4，∴b²=4．…………………………10分

所以橢圓的方程為．…………………………………………12分

22．(本小題滿分12分)

解：(理)(Ⅰ) f′(x)=－，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0，故f(x)在[1,+∞)遞減．……4分

(Ⅱ) f(x)≥Û≥k，記g(x)=，

       則g′(x)=．…………………………5分

       再令h(x)=x－lnx，則h′(x)=1－．

       ∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1,+∞)上遞增………………………………………6分

       ∴[h(x)]_min=h(1)=1>0，從而g′(x)>0，故g(x)在[1,+∞)上也單調遞增． ………7分

       ∴[g(x)]_min=g(1)=2，∴k≤2．………………………………………………………8分

       (Ⅲ)證法1：用數學歸納法，略

       證法2：由(Ⅱ)知：f(x)≥恒成立，即．

       令x=n(n+1)，則，………………………………9分

∴，，，…，

，……………………………………………………10分

將以上不等式相加得：

．……………………………………12分

(文)解：(Ⅰ )由f(x)=x³+ax²+bx+c，求導數得f′(x)=3x²+2ax+b．…………1分

過y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．…………………………………………3分

而過y=f(x)上的點P(1，f(1)) 的切線方程為y=3x+1，

故即…………………………………………4分

∵f(x)在x=－2處有極值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③……………5分

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x³+2x²－4x+5．…………………………………………………………6分

(Ⅱ )解法一：y=f(x)在[－2,1]上單調遞增，又f′(x)=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0．

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx+b≥0．……………………8分

①當x=≥1時，f′(x)_min=f′(1)=3－b+b>0，∴b≥6；………………………9分

②當x=≤－2時，f′(x)_min=f′(－2)=12+2b+b≥0，∴bÎÆ；………………10分

③當－2≤≤1時，f′(x)_min=≥0，則0≤b≤6．………………………11分

綜上所述，參數b的取值范圍是[0,+∞)．……………………………………12分

解法二：同)解法一，可得3x²-bx+b≥0．………………………………………8分

即b(x－1)≤3x²．

當x=1時，不等式顯然成立．

當x≠1時，x－1<0，∴b≥．……………………………………………10分

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0，

∴b≥0．…………………………………………………………………………12分

數學既重基礎又突出考查主線

西北師大附中高級教師 李樹林

　　  試卷點評:本試卷題型配置合理，考查知識點覆蓋全面,試題嚴謹準確，無科學性知識性錯誤。思維量、計算量適中。更值得一提的是試卷平和溫馨，無偏題怪題，既重基礎又突出考查主線，學生倍感親切。這既對后期復習具有良好的導向作用，尤其是對穩定學生情緒，鼓舞士氣發揮重要作用。總之，本試卷與近年高考題相比更接近。如果多出現一些創新題將更能體現課改精神。另外，應加大壓軸題的分量，特別是21題分量明顯不足。

　　  復習建議:合理定位，“量身”制定復習方案。后期復習對自己恰當定位很重要。奪三甲、進前十、奔名校、夠重點、上普本，一定要有自己的具體目標要求。你在什么層面，就要進行相對應的復習。既敢追求又能舍棄。基礎未過關的，寧可再打基礎也要舍棄綜合性的問題，想拔高的就要對一些“尖端”問題猛攻。

　　  力所能及地做好專題復習。首先做好6個方向的專題復習：向量與三角問題專題、向量與立體幾何問題專題、概率與統計問題專題、函數與不等式問題專題、數列與不等式問題專題、解析幾何問題專題。建議自己進行專題組卷，比如三角題，將近年三角考題精選十余道組成試卷進行專題練習。其次做好思想方法專題復習。另外，有些典型問題也可以專題題組的方式復習。如分段函數，選擇相關題目組成專題卷，內容包括單調性、奇偶性、值域、反函數等等，這樣做復習效果倍增。

　　  做好臨場訓練：關注應試技法，如客觀題用畫圖、檢驗等特殊方法，特別是選擇題要用好選擇這一“拐杖”；重視解題程序的訓練：如用向量法解立體幾何題的步驟、用直譯法求軌跡方程的步驟、直線與圓錐曲線問題的求解步驟、解概率題的步驟、畫數據的頻率分布直方圖的步驟、用數學歸納法證明問題的步驟、求線性規劃問題的步驟等等；做好答卷規范性的訓練:特別是今年實行網上閱卷對答題規范性要求更高，必須及早訓練否則一定影響考試效果。