題目列表(包括答案和解析)
已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為_______
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設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝
．
(1)求a，b夾角的大小；
(2)求|3a＋b|的值．
若向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則a·b的值為( )
A．－
B．
C．－1 D．1
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
文A
理D
A
D
C
D
A
文C
理B
A
B
D
文C
理C
第II卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
14.(理)3 （文）
14.2
15. 
16. ③④
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17．本小題滿分10分
解：(Ⅰ)∵m⊥n，
∴m?n=(
,cosA+1)?(sinA,－1)=sinA－(cosA+1)=0，
∴sinA－cosA=1，………………………………………………………………2分
∴sin(A－
)=．…………………………………………………………………3分
∵0<A<p，∴
，∴
，………………………………5分
∴A=
．……………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)在△ABC中，A=，a=2，cosB=
，
∴sinB=
．……………………………………………7分
由正弦定理知：
，…………………………………………………8分
∴b=
，∴b=
．……………………………………10分
18．(本小題滿分12分)
解：（1）由甲射手命中目標的概率與距離的平方成反比，可設
，
∵
，∴
，
………………………………………
2分
∴
，
. ……………………………………………… 4分
∴
，
.…………………………… 6分
（2）（理）
的所有可能取值為0，1，2，3.
, ……………………………
7分
， ………………………………… 8分
，
…………………………………………… 9分
.
…………………………………………………………… 10分
∴
. …………………… 12分
（文）記“射手甲在該射擊比賽中能得分”為事件A，則
，…………………… 9分
∴
. ………………………… 12分
19．(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)證明：連接AC1，設AC1∩A
∵A1B，
∴AA
又D為AB中點，∴ED∥BC1．……………………………………3分
又EDÌ平面A1CD，BC1Ë平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．…………………………………………………4分
(Ⅱ)解法一：設H是AC中點，F是EC中點，連接DH，HF，FD．……5分
∵D為AB中點， ∴DH∥BC，同理可證HF∥AE，又AC⊥CB，故DH⊥AC．
又側棱AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥DH， ∴DH⊥平面AA
由(Ⅰ)得AA
∵HF是DF在平面AA
∴∠DFH是二面角A―A
又DH=，HF=
．…10分
∴在直角三角形DFH中，tan∠DFH=
．…11分
∴二面角A―A
．……………………12分
解法二：在直三棱柱A1B，則
C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0,1,0)，D
，…………5分
設平面A1DC的法向量為n=(x,y,z)，則
， …………………………6分
∵
=，
=(,0,)，
∴
，則
．…7分
取x=1，得平面A1DC的一個法向量為n=(1,－,－1)，…………9分
m=
=(0,1,0)為平面CAA
cos<m?n>=
．………………………………11分
由圖可知，二面角A―A
．………………12分
20．(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)∵an+1= f(
)=
．…………………………3分
∴{an}是以
為公差的等差數列．
又a1=1，∴an=
． ………………………………………(理)5分(文)6分
(Ⅱ) (理)當n≥2時，
，
又b1=
=
，
∴Sn=b1+b2+???+bn=
．…8分
∵Sn<
，
對nÎN*成立．
∵
關于n遞增，且當n®+∞時，
及
，
∴
，m≥2009．∴最小正整數m=2009．………………………12分
（文）Tn=a2(a1－a3)+a4(a3－a5)+???+a2n(a2n-1－a2n+1)
=－
(a2+a4+???+a2n)
………………………………………………8分
=
．…………………………………12分
21．(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)由
得(a2+b2)x2－
設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中點為M(x0，y0)．
∴x1+x2=
，x0=
，y0=－x0+1=
，……………………4分
∴M(，)，代入x－2y=0
得a2=2b2，∴
，……………………………………………………5分
∴e=
．………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓方程可化為
， ……………………………7分
所以右焦點F2(b，0)關于直線l：x－2y=0的對稱點F2′(
b，
b)，……9分
將其代入x2+y2=4，得(b)2+(b)2=4，∴b2=4．…………………………10分
所以橢圓的方程為
．…………………………………………12分
22．(本小題滿分12分)
解：(理)(Ⅰ) f′(x)=－
，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0，故f(x)在[1,+∞)遞減．……4分
(Ⅱ) f(x)≥
Û
≥k，記g(x)=，
則g′(x)=
．…………………………5分
再令h(x)=x－lnx，則h′(x)=1－
．
∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1,+∞)上遞增………………………………………6分
∴[h(x)]min=h(1)=1>0，從而g′(x)>0，故g(x)在[1,+∞)上也單調遞增． ………7分
∴[g(x)]min=g(1)=2，∴k≤2．………………………………………………………8分
(Ⅲ)證法1：用數學歸納法，略
證法2：由(Ⅱ)知：f(x)≥
恒成立，即
．
令x=n(n+1)，則
，………………………………9分
∴
，
，
，…，
，……………………………………………………10分
將以上不等式相加得：
．……………………………………12分
(文)解：(Ⅰ )由f(x)=x3+ax2+bx+c，求導數得f′(x)=3x2+2ax+b．…………1分
過y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)=f′(1)(x－1)，
即y－(a+b+c+1)=(3+
而過y=f(x)上的點P(1，f(1)) 的切線方程為y=3x+1，
故
即
…………………………………………4分
∵f(x)在x=－2處有極值，故f′(－2)=0，∴－
由①②③得a=2，b=－4，c=5．
∴f(x)=x3+2x2－4x+5．…………………………………………………………6分
(Ⅱ )解法一：y=f(x)在[－2,1]上單調遞增，又f′(x)=3x2+2ax+b，由①知
依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx+b≥0．……………………8分
①當x=
≥1時，f′(x)min=f′(1)=3－b+b>0，∴b≥6；………………………9分
②當x=≤－2時，f′(x)min=f′(－2)=12+2b+b≥0，∴bÎÆ；………………10分
③當－2≤≤1時，f′(x)min=
≥0，則0≤b≤6．………………………11分
綜上所述，參數b的取值范圍是[0,+∞)．……………………………………12分
解法二：同)解法一，可得3x2-bx+b≥0．………………………………………8分
即b(x－1)≤3x2．
當x=1時，不等式顯然成立．
當x≠1時，x－1<0，∴b≥
．……………………………………………10分
∵
=3(x－1)+
+6≤－6+6=0，
∴b≥0．…………………………………………………………………………12分
數學既重基礎又突出考查主線
西北師大附中高級教師 李樹林
試卷點評:本試卷題型配置合理，考查知識點覆蓋全面,試題嚴謹準確，無科學性知識性錯誤。思維量、計算量適中。更值得一提的是試卷平和溫馨，無偏題怪題，既重基礎又突出考查主線，學生倍感親切。這既對后期復習具有良好的導向作用，尤其是對穩定學生情緒，鼓舞士氣發揮重要作用。總之，本試卷與近年高考題相比更接近。如果多出現一些創新題將更能體現課改精神。另外，應加大壓軸題的分量，特別是21題分量明顯不足。
復習建議:合理定位，“量身”制定復習方案。后期復習對自己恰當定位很重要。奪三甲、進前十、奔名校、夠重點、上普本，一定要有自己的具體目標要求。你在什么層面，就要進行相對應的復習。既敢追求又能舍棄。基礎未過關的，寧可再打基礎也要舍棄綜合性的問題，想拔高的就要對一些“尖端”問題猛攻。
力所能及地做好專題復習。首先做好6個方向的專題復習：向量與三角問題專題、向量與立體幾何問題專題、概率與統計問題專題、函數與不等式問題專題、數列與不等式問題專題、解析幾何問題專題。建議自己進行專題組卷，比如三角題，將近年三角考題精選十余道組成試卷進行專題練習。其次做好思想方法專題復習。另外，有些典型問題也可以專題題組的方式復習。如分段函數，選擇相關題目組成專題卷，內容包括單調性、奇偶性、值域、反函數等等，這樣做復習效果倍增。
做好臨場訓練：關注應試技法，如客觀題用畫圖、檢驗等特殊方法，特別是選擇題要用好選擇這一“拐杖”；重視解題程序的訓練：如用向量法解立體幾何題的步驟、用直譯法求軌跡方程的步驟、直線與圓錐曲線問題的求解步驟、解概率題的步驟、畫數據的頻率分布直方圖的步驟、用數學歸納法證明問題的步驟、求線性規劃問題的步驟等等；做好答卷規范性的訓練:特別是今年實行網上閱卷對答題規范性要求更高，必須及早訓練否則一定影響考試效果。
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，|a－b|＝
，則a·b＝
，|a－b|＝
，則a·b＝