題目列表(包括答案和解析)
設(shè)點
是拋物線
的焦點，
是拋物線
上的
個不同的點（
）.
（1） 當(dāng)
時，試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標(biāo)，從而使得
；
（2）當(dāng)
時，若
，
求證：
；
（3） 當(dāng)時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
，設(shè)
，
分別過
作拋物線的準(zhǔn)線
的垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設(shè)
，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取
時，拋物線的焦點為，
設(shè)，
分別過
作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為
.由拋物線定義得
，
則
，不妨取
；
；
；
解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
因為，所以
，
故可取
滿足條件.
（2）設(shè)
，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
；
所以
.
（3） ①取時，拋物線的焦點為，
設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
，
則，不妨取；；；，
則
，
.
故
，
，
，
是一個當(dāng)
時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè)，分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
由
及拋物線的定義得
，即.
因為上述表達(dá)式與點
的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點都取在
軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則
，
而
，所以
.
（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且
的一組個不同的點，均為反例.）
③ 補充條件1：“點
的縱坐標(biāo)
（
）滿足 
”，即：
“當(dāng)時，若
，且點的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)
，
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由
，
及拋物線的定義得，即，則
，
又由，所以，故命題為真.
補充條件2：“點
與點
為偶數(shù)，
關(guān)于軸對稱”，即：
“當(dāng)時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）
已知數(shù)列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用
關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時, 
,命題成立;
②假設(shè)
時,命題成立,即
,
則當(dāng)
時,
即
即
故當(dāng)時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知函數(shù)
在
取得極值
（1）求
的單調(diào)區(qū)間（用
表示）；
（2）設(shè)
，
，若存在
，使得
成立，求的取值范圍.
【解析】第一問利用
根據(jù)題意
在取得極值, 
對參數(shù)a分情況討論，可知
當(dāng)
即
時遞增區(qū)間: 
遞減區(qū)間: 
,
當(dāng)
即
時遞增區(qū)間: 
遞減區(qū)間: 
,
第二問中，
由(1)知: 在
，
，
在
從而求解。
解: 
…..3分
在取得極值, ……………………..4分
(1) 當(dāng)即時 遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: ,
當(dāng)即時遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: ,
………….6分
(2) 由(1)知: 在，
，
在
……………….10分
, 使成立
得: 
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設(shè)點的坐標(biāo)為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設(shè)點,的坐標(biāo)分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）
………………6分
設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當(dāng)
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關(guān)系是
，結(jié)合
，解得。
（2）由，解得
，
，結(jié)合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
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