題目列表(包括答案和解析)
（本小題12分）
如圖，在三棱錐
中，側面
、
是全等的直角三角形，
是公共的斜邊，且
，
，另一個側面是正三角形．
（I）求證：
；
（II）求二面角
的余弦值；
（III）在直線
是否存在一點
，使直線
與面
成
角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．
如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，
底面，
, 點
是
的中點，
，且交
于點
.
（I） 求證： 
平面
；
（II） 求二面角
的余弦值大小；
（III）求證：平面
⊥平面
.
如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，
底面，
, 點
是
的中點，
，且交
于點
.
（I） 求證： 
平面
；
（II） 求二面角
的余弦值大小；
（III）求證：平面
⊥平面
.
已知正△
的邊長為4，
是
邊上的高，
分別是
和
邊的中點，現將△沿翻折成直二面角
，如圖．
（I）證明：∥平面
；
（II）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點
，使
？證明你的結論．
如圖，已知在直四棱柱
中，
，
，
．
（I）求證：
平面
；
（II）求二面角
的余弦值．
1．B 2 D． 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B
11．D 12．B
13．240 14．1 15．
16.
①②③
17．（本題滿分10分）
解：(Ⅰ)由
又
(Ⅱ)
同理：
故
，
，
.
18．（本題滿分12分）
解：(Ⅰ)記“這批太空種子中的某一粒種子既發芽又發生基因突變”為事件
，則
.
(Ⅱ) 
19．（本題滿分12分）
解
(Ⅰ)∵
，∴{
}是公差為4的等差數列，
∵a1=1, =
+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
(Ⅱ)bn=Sn+1－Sn=an+12=
,由bn<
,得m>
,
設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N*有bn<成立
20．（本題滿分12分）
解法一：
（I）設
是
的中點，連結
，則四邊形
為正方形，
．故
，
，
，
，即
．
又
，
平面
，
（II）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中點
, 連結
，又
，則
．
取
的中點
，連結
，則
,
.
為二面角
的平面角．
連結
，在
中，
，
，
取
的中點
，連結
，
，
在
中，
，
，
．
．
二面角的余弦值為
．
解法二：
（I）以
為原點，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，
，
，
，
,
.
，
,
又因為 所以，平面
.
（II）設
為平面
的一個法向量．
由
，
，
得
取
，則
．
又
，，設
為平面
的一個法向量，
由
，
，得
取
，則
，
設
與
的夾角為
，二面角為
，顯然為銳角，
,
21．（本題滿分12分）
解：(Ⅰ) 
,
在
上是增函數，在
上是減函數,
∴當
時, 取得極大值.
∴
即
.
由
,
得
,
則有 
,
遞增
極大值4
遞減
極小值0
遞增
所以, 當
時,函數的極大值為4;極小值為0; 單調遞增區間為和.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, 
,
的兩個根分別為
. ∵在上是減函數,∴
,即
,
.
22．（本題滿分12分）
解:（I）依題意，可知
，
∴ 
，解得
∴橢圓的方程為
（II）直線
：
與⊙
相切，則
，即
，
由
，得
，
∵直線與橢圓交于不同的兩點
設
∴
，
，
∴
∴
∴
，
∴
設
，則
，
∵
在
上單調遞增
∴
.
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