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（本小題共13分） 如圖，在三棱錐中，底面ABC
，點(diǎn)、分別在棱上，且 
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的大小的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.

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一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

(15)（本小題共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.                ………………………………………1分

∵，，成等差數(shù)列，

∴.                                  ………………………………………3分

∴.                                     ………………………………………5分

∴.                                             ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列.         ………………………………………8分

∴.

∴.                                         ………………………………………10分

當(dāng)時(shí)，.      ………………………………………12分

當(dāng)時(shí)，上式也成立.                             ………………………………………13分

∴（）.

（16）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量均為A級(jí)的概率為.………………………………2分

該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量一次為A級(jí)，另一次為B級(jí)的概率為.

                                                          …………………………………4分

設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則                    …………………………………5分

.                              …………………………………6分

答：估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為.

（Ⅱ）由題意可知，的取值為0，1，2，3，4.                …………………………………7分

.

隨機(jī)變量的分布列為：

0

1

2

3

4

                                                        …………………………………12分

解法一：

∴.    …………………………………13分

解法二：，

∴.                                       …………………………………13分

（17）（本小題共14分）

（Ⅰ）證明：設(shè)的中點(diǎn)為.

在斜三棱柱中，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn),

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.                          ………………………………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.          ………………………………………5分

，

四邊形是菱形.

.                                   ………………………………………7分

.                                   ………………………………………9分

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

設(shè)，則，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.                   ………………………………………13分

.

∴二面角的大小為.             ………………………………………14分

解法二：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，則平面ABC.以為原點(diǎn)，過(guò)平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，由題意可知，.

設(shè)，由，得

………………………………………7分

.

  又.

.

.                                              ………………………………………9分

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為.

則

∴

.

設(shè)平面的法向量為.則

∴

.                                   ………………………………………12分

.                        ………………………………………13分

二面角的大小為.           ………………………………………14分

（18）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?sub>．                 ………………………………………1分

.             ………………………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即時(shí)，

x

a+1

-

0

+

ㄋ

極小值

ㄊ

∴在上的最小值為．

則，得．                           ………………………………………10分

若即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為．

由得（舍）．                            ………………………………………12分

綜上所述，．                               ………………………………………13分

（19）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）由拋物線C:得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，.                                       ………………………………………1分

由得.

所以，.因?yàn)?sub>， …………………………………3分

所以.

所以.即.

所以直線的方程為：或.           ………………………………………5分

（Ⅱ）設(shè)，，則.

由得.

因?yàn)?sub>，所以，. ……………………………………7分

   （?）設(shè)，則.

  由題意知：∥，.

即.

  顯然      ………………………………………9分

（?）由題意知：為等腰直角三角形，，即，即.

. .

.，.                      ………………………………………11分

  .

即的取值范圍是.                           ………………………………………13分

（20）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）取，得，即.

因?yàn)?sub>，所以.                         ………………………………………1分

取，得.因?yàn)?sub>，所以.

取，得，所以.

                                                    ………………………………………3分

（Ⅱ）在中取得.

所以.

在中取，得.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得

         .

所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立.

所以.                        ………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

在中，

取，得，即  ①

取，得 ②

取，得，即 ③

②+①得，②+③得.

.

將代入①得.

將代入②得.

.

由（Ⅱ）知，所以對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.

故當(dāng)時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.

存在常數(shù)，使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，且為滿足題設(shè)的唯一一組值.                   ………………………………………14分

說(shuō)明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.