題目列表(包括答案和解析)
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．
．
．（本題滿分13分）
檢測部門決定對某市學校教室的空氣質量進行檢測，空氣質量分為A、B、C三級．
每間教室的檢測方式如下：分別在同一天的上、下午各進行一次檢測，若兩次檢測中有C級或兩次都是B級，則該教室的空氣質量不合格．
設各教室的空氣質量相互獨立，且每次檢測的結果也相互獨立．
根據多次抽檢結果，一間教室一次檢測空氣質量為A、B、C三級的頻率依次為
，
，.
(1) 在該市的教室中任取一間，估計該間教室空氣質量合格的概率；
(2) 如果對該市某中學的4間教室進行檢測，記在上午檢測空氣質量為A級的教室間數為X，并以空氣質量為A級的頻率作為空氣質量為A級的概率，求X的分布列及期望值．
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2
（11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
(15)（本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）. ………………………………………1分
∵
，
，
成等差數列，
∴
.
………………………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴數列
為首項是
，公差為1的等差數列.
………………………………………8分
∴
.
∴
.
………………………………………10分
當
時，
. ………………………………………12分
當
時，上式也成立. ………………………………………13分
∴
（）.
（16）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為
.………………………………2分
該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為
.
…………………………………4分
設“該間教室的空氣質量合格”為事件E.則 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為
.
（Ⅱ）由題意可知，
的取值為0，1，2，3，4.
…………………………………7分
.
隨機變量的分布列為：
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一：
∴
. …………………………………13分
解法二：
，
∴
.
…………………………………13分
（17）（本小題共14分）
（Ⅰ）證明：設
的中點為
.
在斜三棱柱
中，點
在底面
上的射影恰好是的中點,
平面ABC. ……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面.
………………………………………5分
解法一：（Ⅱ）連接
，平面，
是直線
在平面上的射影.
………………………………………5分
，
四邊形是菱形.
.
………………………………………7分
.
………………………………………9分
（Ⅲ）過點
作
交于點
，連接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
設
，則
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
………………………………………13分
.
∴二面角的大小為
.
………………………………………14分
解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為
，則
平面ABC.以為原點，過平行于
的直線為
軸，所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設
，由題意可知，
.
設
，由
，得
………………………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）設平面
的法向量為
.
則
∴
.
設平面
的法向量為
.則
∴
.
………………………………………12分
.
………………………………………13分
二面角的大小為.
………………………………………14分
（18）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）函數
的定義域為
．
………………………………………1分
. ………………………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由題意可知，
，且
在
上的最小值小于等于時，存在實數
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
時，
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為
．
則
，得
．
………………………………………10分
若
即
時，在上單調遞減，則在上的最小值為
．
由
得
（舍）．
………………………………………12分
綜上所述，．
………………………………………13分
（19）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由拋物線C:
得拋物線的焦點坐標為
，設直線
的方程為：
，
. ………………………………………1分
由
得
.
所以
，
.因為
， …………………………………3分
所以
.
所以
.即
.
所以直線的方程為：
或
.
………………………………………5分
（Ⅱ）設
，
，則
.
由
得
.
因為
，所以
，
. ……………………………………7分
（?）設
，則
.
由題意知：
∥
，
.
即
.
顯然
………………………………………9分
（?）由題意知：
為等腰直角三角形，
，即
，即
.
. 
.
.，
.
………………………………………11分
.
即
的取值范圍是
.
………………………………………13分
（20）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，即
.
因為
，所以
.
………………………………………1分
取
，得
.因為
，所以
.
取
，得
，所以
.
………………………………………3分
（Ⅱ）在
中取
得
.
所以
.
在中取
，得
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
對任意實數均成立.
所以
.
………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
中，
取
，得
，即
①
取
，得
②
取
，得
，即
③
②+①得
，②+③得
.
.
將代入①得
.
將代入②得
.
.
由（Ⅱ）知，所以
對一切實數成立.
故當
時，對一切實數成立.
存在常數，使得不等式
對一切實數成立，且為滿足題設的唯一一組值.
………………………………………14分
說明：其它正確解法按相應步驟給分.
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