題目列表(包括答案和解析)
已知函數
的周期為
，圖象的一個對稱中心為
，將函數
圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個
單位長度后得到函數
的圖象。
（Ⅰ）求函數與的解析式
（Ⅱ）是否存在
，使得
按照某種順序成等差數列？若存在，請確定
的個數，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求實數
與正整數
，使得
在
內恰有2013個零點
已知函數
的周期為
，圖象的一個對稱中心為
，將函數
圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個
單位長度后得到函數
的圖象。
（Ⅰ）求函數與的解析式
（Ⅱ）是否存在
，使得
按照某種順序成等差數列？若存在，請確定
的個數，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求實數
與正整數
，使得
在
內恰有2013個零點
的周期為
，圖象的一個對稱中心為
，將函數
圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個
單位長度后得到函數
的圖象。與的解析式
，使得
按照某種順序成等差數列？若存在，請確定
的個數，若不存在，說明理由；
與正整數
，使得
在
內恰有2013個零點若函數
的圖象的一個最高點為（2，
），由這個最高點到相鄰的最低點間的曲線與
軸交于點（6,0）
⑴求這個函數的解析式；
⑵求該函數的對稱軸、對稱中心、單調區間；
⑶這個函數怎樣由
進行變換得到？
設函數f(x)＝x|x|＋bx＋c(b，c∈R)，給出下列四個命題
①若c＝0，則f(x)為奇函數；
②若b＝0，c＞0，則方程f(x)＝0只有一個實根；
③函數y＝f(x)的圖象關于點(O，C)成中心對稱圖形；
④關于x的方程f(x)＝0最多有兩個實根．
其中正確的命題是________
一、選擇題（每小題5分，共60分）
二、填空題（每小題4分，共16分）
13）5 14）2.6 15）48 16）①③④
三、解答題（本題共6小題，滿分共74分）
17、解：（1）因為
。
所以1―2
……………2分
所以
因為
所以 
……………………………6分
（2）
……8分
因為
…10分
所以，原式
………………………12分
18、解：（Ⅰ）當n=1時，
………3分
（Ⅱ）（方法一）記輸入n時，①中輸出結果為
，②中輸出結果為
’則
……………5分
所以
……
……
……………8分
（方法二）猜想
……………5分
證明：（1）當n=1時，結論成立
（2）假設當n=k
則當n=k+1時，
所以當 n=k+1時，結論成立
故對
，都有
成立 ………………8分
因為
……………10分
所以
……………………………12分
19、解：（方法一）證明：設BD交AC于點O，連接MO，OF
因為四邊形ABCD是正方形
所以AC⊥BD，AO=CO
又因為矩形ACEF，EM=FM，
所以MO⊥AO
因為正方形ABCD和矩形ACEF所
在平面垂直
平面ABCD
平面ACEF=AC
所以MO⊥平面ABCD
所以AM⊥BD
在
,
所以BD=
所以AO=1，
所以四邊形OAFM是正方形，所以AM⊥OF
因為
…………………6分
（Ⅱ）設AM、OF相交于Q，過A作AR⊥DF于R，連接QR，因為AM⊥平面BDF，
所以QR⊥DF，則∠ARQ為二面角A―DF―B的平面角…………………9分
Rt△ADF中，AF=1，AD=
，所以
Rt△AQR中，QR
所以二面角A―DF―B的余弦值為
………………………12分
（方法二）以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系C―xyz，連接BD則A（，，0），B（0，，0）。
D（，0，0）
F（，，1），M（
，，1）
所以
所以
所以
所以AM⊥平面BDF…………6分
（Ⅱ）平面ADF的法向量為
平面BDF的法向量………………8分
……………………11分
所以二面角A―DF―B的余弦值為。 ……………………12分
20、解：設該人參加科目A考試合格和補考為時間
，參加科目B考試合格和補考合格為時間
相互獨立。
（Ⅰ）設該人不需要補考就可獲得證書為事件C，則C=
（Ⅱ）
的可能取值為2，3，4.
則P（
P
P
…………………8分
所以，隨即變量的分布列為
2
3
4
P
所以
………………12分
21、解：（Ⅰ）設所求雙曲線C的方程為
-
=1，
由題意得：
所以，所求曲線C的方程為
……………3分
（Ⅱ）若弦PQ所在直線斜率K存在，則設其方程為y=k (x-2)
由
設點P
解得
此時點R到y軸的距離
而當弦PQ所在直線的斜率不存在時，點R到Y軸的距離為2，
所以，點R到Y軸距離的最小值為2。 ………………8分
（Ⅲ）因為直線L:x=m與以PQ為直徑的圓相切
所以
雙曲線離心率e=
，右準線方程為
所以|PQ|=|PF|+|QF|=2
所以
，所以
因為
………………12分
22、解：（1）因為
所以 
取BC的中點D，則
因為
所以，點0在BC邊的中線上 ……………………………4分
（Ⅱ）因為 
所以
所以
所以
所以
………………………………5分
因為
又
=
所以 
……………………8分
因為
所以
…………………………………10分
（Ⅲ）由題意知
在(0,+∞)上恒成立。
令h(x)=
所以
所以h(x)在（0，+∞）內為增函數，所以 h(x)>h(0)=1 …………………13分
所以
…………14分
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