題目列表(包括答案和解析)
已知函數
．（
）
（1）若
在區間
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）若在區間
上，函數的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則
在區間上恒成立，然后分離參數法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于
在區間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區間上單調遞增，
則在區間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區間
上是增函數，并且在該區間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區間上恒有
，從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數的圖象恒在直線下方．
函數
是定義在
上的奇函數，且
。
（1）求實數a，b，并確定函數
的解析式；
（2）判斷在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（3）寫出的單調減區間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值。（本小問不需要說明理由）
【解析】本試題主要考查了函數的解析式和奇偶性和單調性的綜合運用。第一問中，利用函數是定義在上的奇函數，且。
解得
，
（2）中，利用單調性的定義，作差變形判定可得單調遞增函數。
（3）中，由2知，單調減區間為
，并由此得到當，x=-1時，
，當x=1時，
解：（1）
是奇函數，
。
即
，
，………………2分
，又，
，，
（2）任取
，且
，
，………………6分
，
，
，
，
，
在（-1，1）上是增函數。…………………………………………8分
（3）單調減區間為…………………………………………10分
當，x=-1時，，當x=1時，。
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