如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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1．C       2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數(shù) 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)．此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值（注意與反號(hào)）

由得

       ，故選A

5．解析：設(shè)有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開(kāi)式中通項(xiàng)；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準(zhǔn)線方程，雙曲線準(zhǔn)線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取中點(diǎn)為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：

由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直么

       ，又，

       設(shè)，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，由此得，然后可得．

二、填空題

13．3；解析：在上的投影是．

14．（0．2）；解析：由，解得．

15．

解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．②③；

解析：容易知命題①是錯(cuò)的，命題②、③都是對(duì)的，對(duì)于命題④我們考查如圖所示的正方體，政棱長(zhǎng)為，顯然與為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們?cè)诘酌?sub>內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線．但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設(shè)邊上的高為。則

．

18．（1）設(shè)甲、乙兩人同時(shí)參加災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，那么．

19．解：

（1）平面

           ∵二面角為直二面角，且，

              平面              平面．

（2）（法一）連接交交于點(diǎn)，連接是邊長(zhǎng)為2的正方形，                  ，

平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，則

              ，

              設(shè)平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個(gè)法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設(shè)，即

              易知是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，

           ∴通項(xiàng)公式為，

    （2）由題設(shè)，，得是以公比為的等比數(shù)列．

        由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為

             若直線有斜率時(shí)，其坐標(biāo)滿足下列方程組：

              ，        

              若沒(méi)有斜率時(shí)，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：方程可化為．

當(dāng)時(shí)，，又，于是，解得，故．

       （2）解：設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

              令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．所以點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為．故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6．