題目列表(包括答案和解析)
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an-
|
若數列
的前
項和
是
二項展開式中各項系數的和
．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列
滿足
，且
，求數列
的通
項及其前項和
；
（III）求證：
．
若數列
的前
項和
是
二項展開式中各項系數的和
．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列
滿足
，且
，求數列
的通項及其前項和
。
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 
1l．B 12．A
1．解析：
，故選A．
2．解析：
，∴選C．
3．解析：
是增函數 
故
，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線
，平移直線
至
位置，使其經過點
．此時目標函數取得最大值（注意
與
反號）
由
得
，故選A
5．解析：設有人投中為事件，則
，
故選C．
6．解析：
展開式中能項；
由
，得
，故選C．
7．解析：
由
得
，故選D．
8．略
9．解析：由
得準線方程
，雙曲線準線方程為
，解得
，
，故選D．
10．解析：設正四面體的棱長為2，取
中點為
，連接
，則
為
與
所成的角，在
中
，故選B．
11．解析：由題意
，則
，故選B．
12．解析：由已知
，
為球的直徑
，又
，
設
，則
，
又由
，解得
，故選A．
另法：將四面體
置于正方休中．
正方體的對角線長為球的直徑，由此得
，然后可得
．
二、
13．解析：
在
上的投影是
．
14．解析：
，且
．
15．解析：
，
由余弦定理
為鈍角
，即
，
解得
．
16．
解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為
，顯然
與
為平面
內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影
、
仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1）
，
，
即
，故
．
（2）
由
得
．
設邊上的高為
，則
．
18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區服務為事件，則
．
（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區服務為事件
，那么
．
（3）隨機變量
可能取得值為1，2，事件“
”是指有兩人同時參加災區服務，則
，所以
．
分布列是
1
2
19．解：（1）
平面
∵二面角
為直二面角，且
，
平面
平面
．
（2）（法一）連接
與高交于
，連接
是邊長為2的正方形， 
，
二平面
，由三垂線定理逆定理得
是二面角
的平面角
由（1）
平面
，
．
在
中，
∴在
中，
故二面角等于
．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點
為坐標原點建立空間坐標系
，則
，
設平面的法向量分別為
，則由
得
，而平面
的一個法向理
故所求二面角等于
．
20．解：（1）由題設
，即
易知
是首項為
、公差為2的等差數列，
∴通項公式為
，
（2）由題設，
，得
是以
公比為
的等比數列．
由
得
．
21．解：（1）由題意
，由拋物線定義可求得曲線
的方程為
．
（2）證明：設、的坐標分別為
若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：
， 
若沒有斜率時，方程為
．
又
．
；又
，
．
22．（1）解：
，于是
，
解得
或
因
，故
．
（2）證明：已知函數
都是奇函數．
所以函數
也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而
．
可知．函數
的圖象按向量
平移，即得到函數
的圖象，故函數的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（3）證明；在曲線上作取一點
，
由
知，過此點的切線方程為
．
令
，得
，切線與直線交點為
．
令
，得
切線與直線交點為
，直線與直線與直線的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為
所以，圍成三角形的面積為定值2．
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