題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數(shù)
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
．定義域為R的函數(shù)
滿足
，且當(dāng)
時，
，則當(dāng)
時，
的最小值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
．過點
作圓
的弦，其中弦長為整數(shù)的共有 （ ）
A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．B 12．D
1．
，在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限．
3．當(dāng)
時，函數(shù)
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當(dāng)
時，函數(shù)在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯(lián)立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數(shù)形結(jié)合，因為直線
恒過定點（0，1），欲直線與橢圓
總有交點，當(dāng)且僅當(dāng)點（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即
又
的取值范圍為
．
5．
6．（略）
7．展開式前二項的系數(shù)滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項為
．
8．
，欲使
為奇函數(shù)，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數(shù)，故B正確
當(dāng)
時，
，其在上是增函數(shù)，不符合要求．
9．
等價于
畫圖可知
，故
．
10．如圖甲所示．設(shè)
，點
到直線
的距離為
則由拋物線定義得
，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得
，又由雙曲線第二定義得
，解之得
．
11．由巳知中獎20元的概率
；中獎2元的概率
，中獎5元的概率
，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出
元，收入
元，估計該中心收入480元．
12．設(shè)
中點為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于
，蓮
．則
為所求，設(shè)
，則
，在
中可求出
，則
．
二、
13．
．提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數(shù)形結(jié)合法．
令
，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經(jīng)判斷，
為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當(dāng)
時，
取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關(guān)知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件
、
、
．由已知、、相互獨立，
，客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2．3，相應(yīng)地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，
的取值為1，3，且
的分布列為
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：
在
上單凋遞增，要使在上單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
．從而
．
解法二：當(dāng)
時，
在單調(diào)遞增當(dāng)
時，
在不單調(diào)遞增，
．
19．解：（1）因
故
是公比為
的等比數(shù)列，且
故
．
（2）由
得
注意到
，可得
，即
記數(shù)列
的前
項和為
，則
兩式相減得：
故
從而
．
20．解：（1）如圖所示，連接
因為
平面
，平面
平面
，平面平面所以
；又
為
的中點，故為
的中點
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解琺一；如圖建立直角坐標(biāo)系
則
， 
設(shè)
點的坐標(biāo)為
故
點的坐標(biāo)為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設(shè)點、
的坐標(biāo)分別為
、
點
的坐標(biāo)為
當(dāng)
時，設(shè)直線的斜率為
直線過點
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標(biāo)滿足方程
⑦
當(dāng)
時，不存在，此時平行于
軸，因此的中點一定落在
軸上，即的坐標(biāo)為
,顯然點(
，0）滿足方程⑦
綜上所述，點的坐標(biāo)滿足方程
設(shè)方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因為
，又已知
，
所以當(dāng)
時．
，曲線與橢圓有且只有一個交點，
當(dāng)
時，
，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)，故點的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點（0，0），（0，
）
由
解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）
當(dāng)
，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標(biāo)軸只有一個交點（0，0）．
當(dāng)
，且
，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當(dāng)
且
時，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點（，0）、（0，0）．
當(dāng)，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標(biāo)軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．
22．解：（1）由
故直線的斜率為1．切點為
，即（1，0），故的方程為：
，
∴直線與
的圖象相切．等價于方程組
，只有一解，
即方程
有兩個相等實根．
．
（2）
，由
，
，當(dāng)
時，
是增函數(shù)。即
的單調(diào)遞增區(qū)間為（
，0）．
（3）由（1）知，
，令
由
令
，則
當(dāng)變化時，
的變化關(guān)系如下表：
（
）
ㄊ
0
極大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
極小植
（0，1）
ㄊ
1
0
極大值ln2
（1，
）
ㄋ
據(jù)此可知，當(dāng)
時，方程有三解
當(dāng)
，方程有四解
當(dāng)
或
時，方程有兩解
當(dāng)
時，方程無解．
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