題目列表(包括答案和解析)
已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
. 求出函數的解析式.
已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
（
為常數）。
（1）求函數的解析式；
（2）當
時，求在
上的最小值，及取得最小值時的
，并猜想在
上的單調遞增區間（不必證明）；
（3）當
時，證明：函數
的圖象上至少有一個點落在直線
上。
已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
（
為常數）。
(1) 求函數的解析式；
(2) 當
時，求在
上的最小值，及取得最小值時的
，并猜想在
上的單調遞增區間（不必證明）；
(3) 當
時，證明：函數
的圖象上至少有一個點落在直線
上。
已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
，則不等式
的解集是 。
已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
，則不等式
的解集是 。
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．B 12．D
1．
，在復平面對應的點在第一象限．
3．當
時，函數
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當
時，函數在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數形結合，因為直線
恒過定點（0，1），欲直線與橢圓
總有交點，當且僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即
又
的取值范圍為
．
5．
6．（略）
7．展開式前二項的系數滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項為
．
8．
，欲使
為奇函數，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數，故B正確
當
時，
，其在上是增函數，不符合要求．
9．
等價于
畫圖可知
，故
．
10．如圖甲所示．設
，點
到直線
的距離為
則由拋物線定義得
，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得
，又由雙曲線第二定義得
，解之得
．
11．由巳知中獎20元的概率
；中獎2元的概率
，中獎5元的概率
，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出
元，收入
元，估計該中心收入480元．
12．設
中點為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于
，蓮
．則
為所求，設
，則
，在
中可求出
，則
．
二、
13．
．提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數形結合法．
令
，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經判斷，
為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當
時，
取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件
、
、
．由已知、、相互獨立，
，客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2．3，相應地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，
的取值為1，3，且
的分布列為
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：
在
上單凋遞增，要使在上單調遞增，
當且僅當
，即
．從而
．
解法二：當
時，
在單調遞增當
時，
在不單調遞增，
．
19．解：（1）因
故
是公比為
的等比數列，且
故
．
（2）由
得
注意到
，可得
，即
記數列
的前
項和為
，則
兩式相減得：
故
從而
．
20．解：（1）如圖所示，連接
因為
平面
，平面
平面
，平面平面所以
；又
為
的中點，故為
的中點
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解琺一；如圖建立直角坐標系
則
， 
設
點的坐標為
故
點的坐標為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設點、
的坐標分別為
、
點
的坐標為
當
時，設直線的斜率為
直線過點
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標滿足方程
⑦
當
時，不存在，此時平行于
軸，因此的中點一定落在
軸上，即的坐標為
,顯然點(
，0）滿足方程⑦
綜上所述，點的坐標滿足方程
設方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因為
，又已知
，
所以當
時．
，曲線與橢圓有且只有一個交點，
當
時，
，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點（0，0），（0，
）
由
解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）
當
，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．
當
，且
，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當
且
時，曲線與坐標軸有兩個交點（，0）、（0，0）．
當，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．
22．解：（1）由
故直線的斜率為1．切點為
，即（1，0），故的方程為：
，
∴直線與
的圖象相切．等價于方程組
，只有一解，
即方程
有兩個相等實根．
．
（2）
，由
，
，當
時，
是增函數。即
的單調遞增區間為（
，0）．
（3）由（1）知，
，令
由
令
，則
當變化時，
的變化關系如下表：
（
）
ㄊ
0
極大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
極小植
（0，1）
ㄊ
1
0
極大值ln2
（1，
）
ㄋ
據此可知，當
時，方程有三解
當
，方程有四解
當
或
時，方程有兩解
當
時，方程無解．
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