題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（1）求證：
為關(guān)于
的方程
的兩根；
（2）設(shè)
，求函數(shù)
的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
（可以相同），使得不等，則m的最大值，
為正整數(shù)
已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設(shè)
，試求函數(shù)
的表達(dá)式；
(Ⅱ）是否存在
，使得、與
三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)
，在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設(shè)
，試求函數(shù)
的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)
，在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設(shè)
，試求函數(shù)
的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)
，在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
已知函數(shù)
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設(shè)
，試求函數(shù)
的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)
，在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
一、選擇題：
1. 答案：C. 
｛x | x≥0｝,故選C.
2.C
3. （理）對于
中，當(dāng)n＝６時，有
所以第２５項是７．選C.
4.D
5.Ａ． ∵
＝
，
∴根據(jù)題意作出函數(shù)圖象即得．選A．
6. 答案：Ｄ．當(dāng)x=1時，y＝m ,由圖形易知m<0, 又函數(shù)是減函數(shù)，所以0<n<1,故選Ｄ．
7.A
8.C
二、填空題：
9.810
10．答案：
．
11. 答案：
.
12.
13. （2）、（3）
14.
15．（本題滿分
分）
已知
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
解：（Ⅰ）由
, 
，
………………………2分
．
…………………5分
（Ⅱ） 原式＝ 
…………………10分
．
…………………12分
16．（本題滿分
分）
在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為
，
，
的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為
、
，記
．
（Ⅰ）求隨機變量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（Ⅰ）
、可能的取值為、、，
，
，
，且當(dāng)
或
時，
．
……………3分
因此，隨機變量的最大值為．
有放回抽兩張卡片的所有情況有
種，
．
答：隨機變量的最大值為
，事件“取得最大值”的概率為
． ………5分
（Ⅱ）的所有取值為
．
時，只有
這一種情況，
時，有
或
或
或
四種情況，
時，有
或
兩種情況．
，
，
．
…………11分
則隨機變量的分布列為：
因此，數(shù)學(xué)期望
． ……………………13分
17．（本題滿分分）
如圖，已知正三棱柱
―
的底面邊長是，
是側(cè)棱
的中點，直線
與側(cè)面
所成的角為
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長；（Ⅱ） 求二面角
的大小；
（Ⅲ）求點
到平面
的距離．
解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱―的側(cè)棱長為．取
中點
，連
．
是正三角形，
．
又底面
側(cè)面，且交線為．
側(cè)面．
連
，則直線與側(cè)面所成的角為
． ……………2分
在
中，
，解得
． …………3分
此正三棱柱的側(cè)棱長為
．
……………………4分
注：也可用向量法求側(cè)棱長．
（Ⅱ）解法1：過作
于
，連
，
側(cè)面
．
為二面角的平面角．
……………………………6分
在
中，
，又
， 
．
又
在
中，
．
…………………………8分
故二面角的大小為
．
…………………………9分
解法2：（向量法，見后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，
平面
,平面
平面
，且交線為，過作
于
，則
平面．
…………10分
在中，
．
…………12分
為中點，點到平面的距離為
． …………13分
解法2：（思路）取
中點
，連
和
，由
，易得平面
平面
，且交線為．過點作
于
，則
的長為點到平面的距離．
解法3：（思路）等體積變換:由
可求．
解法4：（向量法，見后）
題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系
．
則
．
設(shè)
為平面的法向量．
由
得
．
取
…………6分
又平面
的一個法向量
…………7分
． …………8分
結(jié)合圖形可知，二面角的大小為
．
…………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
…………10分
點到平面的距離
＝
．13分
18． （本小題滿分14分）
一束光線從點
出發(fā)，經(jīng)直線
上一點反射后，恰好穿過點
．
（Ⅰ）求點
關(guān)于直線
的對稱點
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于
、
兩點，點
為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標(biāo)．
解：（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為
，則
且
．……2分
解得
， 因此，點 的坐標(biāo)為
． …………………4分
（Ⅱ）
，根據(jù)橢圓定義，
得
，……………5分
，
．
∴所求橢圓方程為
．
………………………………7分
（Ⅲ）
，橢圓的準(zhǔn)線方程為
． …………………………8分
設(shè)點的坐標(biāo)為
,
表示點到的距離，
表示點到橢圓的右準(zhǔn)線的距離．
則
，
．
，
……………………………10分
令
，則
，
當(dāng)
，
，
，
．
∴ 
在時取得最小值．
………………………………13分
因此，
最小值＝
，此時點的坐標(biāo)為
．…………14分
注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．
說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心率．
19．（本題滿分
分）
已知數(shù)列
滿足：
且
，
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值及數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)
，求數(shù)列
的前
項和
；
解：（Ⅰ）經(jīng)計算
，
，
，
．
當(dāng)為奇數(shù)時，
，即數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，
；
當(dāng)為偶數(shù)，
，即數(shù)列的偶數(shù)項成等比數(shù)列，
．
因此，數(shù)列的通項公式為
．
（Ⅱ）
，
……（1）
…（2）
（1）、（2）兩式相減，
得
．
．
20．（本題滿分分）
已知函數(shù)
和點
，過點作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設(shè)
，試求函數(shù)
的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與
三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間
內(nèi)總存在
個實數(shù)
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
解：（Ⅰ）設(shè)、兩點的橫坐標(biāo)分別為
、
，
， 切線的方程為：
，
又切線過點
， 有
，
即
， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切線也過點，得
．…………（2）
由（1）、（2），可得
是方程
的兩根，
………………（ * ）
……………………… 4分
，
把（ * ）式代入,得
,
因此，函數(shù)的表達(dá)式為
． ……………………5分
（Ⅱ）當(dāng)點、與共線時，
，
＝
，
即
＝
，化簡，得
，
，
． ………………（3） …………… 7分
把（*）式代入（3），解得
．
存在，使得點、與三點共線，且 ． ……………………9分
（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間
上為增函數(shù)，
，
則
．
依題意，不等式
對一切的正整數(shù)恒成立， …………11分
，
即
對一切的正整數(shù)
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