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作于.作于.連【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知直三棱柱中, , ，是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問(wèn)中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問(wèn)中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 …………… 5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過(guò)E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ……………………… 3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán)) ……… 4分

·=0, h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ……… 11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

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（2013•海口二模）2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來(lái)霧霾天氣最多的一個(gè)月．經(jīng)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市從1
月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣．《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》依據(jù)AQI指數(shù)高低將空氣污染級(jí)別分為：優(yōu)，指數(shù)為0-50；良，指數(shù)為51-100；輕微污染，指數(shù)為101-150；輕度污染，指數(shù)為151-200；中度污染，指數(shù)為201-250；中度重污染，指數(shù)為251-300；重度污染，指數(shù)大于300．下面表1是該觀測(cè)點(diǎn)記錄的4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度y（千米）的情況，表2是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，
表1：AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度y（千米）情況

AQI指數(shù)M	900	700	300	100
空氣可見(jiàn)度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

AQI指數(shù)	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數(shù)	3	6	12	6	3

（Ⅰ）設(shè)變量

100

，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出

關(guān)于

的線性回歸方程；
（Ⅱ）小王在記錄表2數(shù)據(jù)的觀測(cè)點(diǎn)附近開(kāi)了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質(zhì)量
影響很大．假設(shè)每天空氣質(zhì)量的情況不受前一天影響．經(jīng)小王統(tǒng)計(jì)：AQI指數(shù)不高于200時(shí)，飯館平均每天凈利潤(rùn)約700元，AQI指數(shù)在200至400時(shí)，飯館平均每天凈利潤(rùn)約400元，AQI指數(shù)大于400時(shí)，飯館每天要凈虧損200元．
（ⅰ）將頻率看作概率，求小王在連續(xù)三天里飯館凈利潤(rùn)約1200元的概率；
（ⅱ）計(jì)算該飯館一月份每天收入的數(shù)學(xué)期望．（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=

i=1

xiyi-n

i=1

xi2-n

，a=

-b

）

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