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設(shè)函數(shù)y=

1

x

圖象上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形OB₁A₁，A₁B₂A₂，…，直角頂點(diǎn)在函數(shù)y=

1

x

的圖象上，設(shè)A_n的坐標(biāo)為（a_n，0），A₀為原點(diǎn)．
（1）求a₁，并求出a_n與a_n-1之間的關(guān)系式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）bn=

2

an-1+an

(n≥2，n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

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                           2008年7月

【課前預(yù)習(xí)】

答案: 1、;  2、B.【試題分析】令，可求得：。易知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為。

 3、;   4、-4。

四．典例解析

題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)

例1． 分析：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或圖像進(jìn)行判斷。

解析：（1）方法一：

∴

故。

方法二：

令解得，

所以函數(shù)。

（2）∵，

     ∴。

（3）∵，

       ，

     ∴，故在存在零點(diǎn)。

評析：函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖像

例2． 解析：（1）方法一令則根據(jù)選擇支可以求得＜0；＜0；＞0.因?yàn)?sub>＜0可得零點(diǎn)在(2，3)內(nèi)選C

方法二：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C

（2）原方程等價(jià)于

即

構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得：

①當(dāng)或時(shí)，原方程有一解；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；

③當(dāng)或時(shí)，原方程無解。

點(diǎn)評：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷

題型2：零點(diǎn)存在性定理

例3．解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且

當(dāng)x∈(－m,1－m)時(shí),f ^’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)

當(dāng)x∈(1－m, +∞)時(shí),f ^’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且

對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1－m≥0

(2)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1－m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的

故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。

點(diǎn)評：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。

例4． 解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對于選項(xiàng)B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個(gè)解”推翻；同時(shí)選項(xiàng)A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個(gè)解”；選項(xiàng)D正確，見實(shí)例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”。

點(diǎn)評：該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。

題型3：二分法的概念

例5． 解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個(gè)，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。

點(diǎn)評：該題深入解析了二分法的思想方法。

例6．解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時(shí)，精度達(dá)到。此時(shí)差限是0.0005，選項(xiàng)為C。

點(diǎn)評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。

題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解

例7． 解析：原方程即。令，

用計(jì)算器做出如下對應(yīng)值表

x

－2

－1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

－4.6974

觀察上表，可知零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)

取區(qū)間中點(diǎn)=1.5，且，從而，可知零點(diǎn)在（1，1.5）內(nèi)；

再取區(qū)間中點(diǎn)=1.25，且，從而，可知零點(diǎn)在（1.25，1.5）內(nèi)；

同理取區(qū)間中點(diǎn)=1.375，且，從而，可知零點(diǎn)在（1.25，1.375）內(nèi)；

由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。

點(diǎn)評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學(xué)會(huì)借助精度終止二分法的過程。

例8． 分析：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？

略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)。

點(diǎn)評：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個(gè)長度為1的區(qū)間；

②建議列表樣式如下：

零點(diǎn)所在區(qū)間

中點(diǎn)函數(shù)值

區(qū)間長度

[1，2]

>0

1

[1，1.5]

<0

0.5

[1.25，1.5]

<0

0.25

如此列表的優(yōu)勢：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)

例9． 分析：從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征，再根據(jù)圖像特征列出對應(yīng)的不等式（組）。

解析：（1）設(shè)，

由，知∴，

∴

（2）令

∴，

且，∴，∴，

綜上，。

評析：二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。

例10．解析：設(shè)，則的二根為和。

（1）由及，可得  ，即，

即       兩式相加得，所以，；

（2）由, 可得  。

又，所以同號。

∴ ，等價(jià)于

或,

即   或

解之得  或。

點(diǎn)評：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。

【課外作業(yè)】

1． 答案:A，令即可；

2． 答案:B;

3．答案:C，由可得關(guān)于對稱，∴,∴∴，∴，∵，∴。

4、 答案:D, ∵,∴∴, ∴

5． 答案:C，先求出，根據(jù)單調(diào)性求解；

五．思維總結(jié)

1．函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

2．解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題要善于結(jié)合圖像，從判別式、韋達(dá)定理、對稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。