題目列表(包括答案和解析)
17世紀，科學家們致力于運動的研究，如計算天體的位置，遠距離航海中對經度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關系，并根據這種關系對事物的變化規律作出判斷，如根據炮彈的速度推測它能達到的高度和射程．這正是函數產生和發展的背景．
“function”一詞最初由德國數學家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數學家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數”．
萊布尼茲用“函數”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等．1718年，他的學生，瑞士數學家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強調函數要用公式表示．后來，數學家認為這不是判斷函數的標準．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數學家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數”．
當時很多數學家對于不用公式表示函數很不習慣，甚至抱懷疑態度．函數的概念仍然是比較模糊的．
隨著對微積分研究的深入，18世紀末19世紀初，人們對函數的認識向前推進了．德國數學家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數”．這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現，函數概念又進而用更加嚴謹的集合和對應語言表述，這就是本節學習的函數概念．
綜上所述可知，函數概念的發展與生產、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數的過程是一樣的．
你能以函數概念的發展為背景，談談從初中到高中學習函數概念的體會嗎？
1．探尋科學家發現問題的過程，對指導我們的學習有什么現實意義？
2．萊布尼茲、狄利克雷等科學家有哪些品質值得我們學習？
已知函數 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中，利用當
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當
時，在
上恒成立，
故在上單調遞增，
即．
……10分
（2）當
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調遞增，又
① 當
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調遞增，
即，不合題意，舍去
②當
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
已知中心在原點O，焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線
的焦點為F1.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到
，又因為
，這樣可知得到
。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到
，再利用
可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分
代入橢圓E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，
圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及兩角和差的三角函數關系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關系是
，結合
，解得。
（2）由，解得
，
，結合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
有時可用函數f(x)＝
描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(x∈N+)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關．
(1)證明：當x≥7時，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)總是下降；
(2)根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為(115，121]，(121，127]，(127，133]．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85％，請確定相應的學科．
分析：根據已知條件作差，結合綜合法可以確定作差所得的函數為減函數，從而得出結論；又根據函數模型代入數據可以解得參數a的近似值，通過對近似值所在區間加以判斷并選擇相應的學科．
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