題目列表(包括答案和解析)
記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在
，使
成立，則稱
為坐標(biāo)的點為函數(shù)f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數(shù)
圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）在（1）的條件下，若a=8,記函數(shù)f（x） 圖象上有兩個不動點分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點，其縱坐標(biāo)
>3，求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時的坐標(biāo)；
（3）下述命題：“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，給予證明；若不正確，請舉一反例．
(1)若函數(shù)f(x)=
的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求a、b滿足的條件;
(2)在(1)的條件下，若a=8，記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點分別為A、A′，P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點，且其縱坐標(biāo)yP＞3，求點P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時點P的坐標(biāo).
(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，試給予證明，并舉出一例；若不正確，試舉一反例說明.
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，則稱以(x0，x0)為坐標(biāo)的點為函數(shù)f(x)圖像上的不動點．
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝
圖像上有兩點關(guān)于原點對稱的不動點，求a、b應(yīng)滿足的條件；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若a＝8，記函數(shù)f(x)圖像上的兩個不動點分別為A、B，M為函數(shù)圖像上的另一點，且其縱坐標(biāo)yM＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標(biāo)；
(Ⅲ)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉一反例說明．
圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求a，b應(yīng)滿足的條件；| 3x+a | x+b |
一、填空題
1．
2．
3．既不充分條件又不必要條件 4．[－4，－π]
[0，π]
5．
6．6 7．
8．2個 9．等腰直角三角形
10．
11．（-3，4），（-1，2）
12．①、②、⑤
13．
14．C
二、解答題
15．（本小題滿分14分）
解：（1）設(shè)
由
得
它的解集為（1，3）得方程
的兩根為1和3且a<0
即
……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及
得
故
的解析式為
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 
……14分
16．（本小題滿分14分）
解：由
得
，
………………………………2分
又
， ……………………………………6分
由
得
, …………………………10分
．
……14分
17．（本小題滿分15分）．
已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為
，且不等式的解集為
．
（1）若方程
有兩個相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．
解：（1）設(shè)由得
它的解集為（1，3）得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 ……15分
18解：（1）當(dāng)m＝2時，A＝（-2，2），B＝（-1，3）∴ A
B＝（-1，2）．……5分
（2）當(dāng)m＜0時，B＝（1+m，1-m）
要使B
A，必須
，此時
m
當(dāng)m＝0時，B＝
，BA；適合
……10分
當(dāng)m＞0時，B＝（1-m，m＋1）
要使BA，必須
，此時0<m≤1． ……13分
∴綜上可知，使BA的實數(shù)m的取值范圍為[-1，1] ……15分
法2
要使BA，必須
，此時m1； ……13分
∴使BA的實數(shù)m的取值范圍為[-1，1] ……15分
18．（本小題滿分15分）
（1）解：由
得
，
． ………………2分
設(shè)
=
＜0(討論a＞1和0＜a＜1)，
得f(x)為R上的增函數(shù)． ………………5分
（2）由
， …………7分
即
得
， ………………9分
得1＜m＜
.
………………10分
（3）f(x)在R上為增函數(shù))f(x) 當(dāng)
時)f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù)， ………13分
而f(x)在R上單調(diào)遞增得f(2)-40，
………………15分
19．（本小題滿分16分）
解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，
∴
恒成立，
即（
∴
．
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程
有兩相等實數(shù)根，
∴
………………6分
（2）
………………8分
即
為方程
的兩根
．
………………11分
∵m＜n且
．
故當(dāng)
；
當(dāng)k＞1時，
當(dāng)k=1時，[m，n]不存在． ………………16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1）若
為函數(shù)f(x)不動點，則有
，
整理得 
①
………………2分
根據(jù)題意可判斷方程①有兩個根，且這兩個根互為相反數(shù)，得
>
，
<0
所以b=3 ,a>0 ………………4分
而
，所以
．
即b=3，a>0，且a≠9. ………………5分
（2）在（1）的條件下，當(dāng)a=8時，
．
由
，解得兩個不動點為
，……6分
設(shè)點P(x ,y),則y>3 ,即
>3解得x<-3 ．
………………8分
設(shè)點P(x，y)到直線A
．
………………10分
當(dāng)且僅當(dāng)
，即x=―4時，取等號，此時P(―4，4)． ……12分
（3）命題正確． ………………13分
因為f(x)定義在R上的奇函數(shù)，所以f(―0)=―f(0) ,所以0是奇函數(shù)f(x)的一個不動點．
設(shè)c≠0是奇函數(shù)f(x)的一個不動點,則f(c)=c
,由
，所以―c也是f (x)的一個不動點．
所以奇函數(shù)f(x)的非零不動點如果存在,則必成對出現(xiàn)，故奇函數(shù)f(x)的不動點數(shù)目是奇數(shù)個． ………………16分
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