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對定義域分別是的函數,. 【查看更多】

對定義域分別是的函數，規定：函數

，若，

則的值域是__________________。

對定義域分別是F、G的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)+g(x)，當x∈F且x∈G
f(x)，當x∈F且x∉G

g(x)，當x∉F且x∈G

已知函數f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函數h（x）的解析式；
（2）對于實數a，函數h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，請說明理由．

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對定義域分別是D_f、D_g的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h(x)=

f(x)•g(x) 當x∈Df且x∈Dg

f(x) 當x∈Df且x∉Dg

g(x) 當x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函數f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，寫出函數h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數h（x）的值域．

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對定義域分別是D_f、D_g的函數y=f（x），y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)•g(x) 當x∈Df且x∈Dg

1 當x∈Df且x∉Dg

-1 當x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，寫出h（α）的解析式；
（2）寫出問題（1）中h（α）的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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對定義域分別是D_f、D_g的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)•g(x) (當x∈Df且x∈Dg)

f(x) (當x∈Df且x∉Dg)

g(x) (當x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函數f(x)=

1

x-1

，g（x）=x²，寫出函數h（x）的解析式；
（Ⅱ）求問題（1）中函數h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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一、選擇題：

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）B （6）A

（7）C （8）A （9）D （10）B （11）C （12）B

二、填空題：

（13）2 （14）（15）200 （16）②③

三、解答題

17. (1) 故函數的定義域是(－1,1). ………… 2分

(2)由,得(R),所以, …………… 5分

所求反函數為( R). ………………… 7分

(3) ==－,所以是奇函數.……… 12分

18. (1)設,則. ………………… 1分

由題設可得即解得 ………………… 5分

所以. ………………… 6分

(2) ,. …… 8分

列表:

－

＋

－

＋

………………… 11分

由表可得:函數的單調遞增區間為, ……………… 12分

19.（1）證明：設，且，

則，且. ………………… 2分

∵在上是增函數，∴. ………………… 4分

又為奇函數，∴,

∴, 即在上也是增函數. ……………… 6分

（2）∵函數在和上是增函數，且在R上是奇函數，

∴在上是增函數. …………………… 7分

于是

. ………… 10分

∵當時，的最大值為，

∴當時，不等式恒成立. ……………… 12分

20. ∵AB=x, ∴AD=12－x. ………………1分

又，于是. ………………3分

由勾股定理得整理得 …………5分

因此的面積 . ……7分

由得 ………………8分

∴

∴. ………………10分

當且僅當時，即當時，S有最大值 ……11分

答：當時，的面積有最大值 ………………12分

21. (1) h (x) …………………5分

(2) 當x≠1時, h(x)= =x－1++2, ………………6分

若 x > 1時, 則 h (x)≥4,其中等號當 x = 2時成立 ………………8分

若x<1時, 則h (x) ≤ 0,其中等號當 x = 0時成立 ………………10分

∴函數 h (x)的值域是 (－∞,0 ] ∪ { 1 } ∪ [ 4 ,＋∞) ………………12分

22. （1）

切線PQ的方程 ………2分

（2）令y=0得 ………4分

由解得 . ………6分

又0<t<6, ∴4<t<6， ………7分

g (t)在(m, n)上單調遞減，故（m, n） ………8分

（3）當在（0，4）上單調遞增，

∴P的橫坐標的取值范圍為. ………14分

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