(II)求證:在區(qū)間(1.)上.函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方, 【查看更多】

設f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導函數(shù)為f'（x）．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質P（a）．
（1）設函數(shù)f(x)=Inx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b為實數(shù)．
（i）求證：函數(shù)f（x）具有性質P（b）；
（ii）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）已知函數(shù)g（x）具有性質P（2），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，設m為實數(shù)，a=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m取值范圍．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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設函數(shù) $數(shù)學公式$ ，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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設函數(shù)

，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B

理D 文B

D

理D 文C

二．填空題

13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞). 14. 90.

15. ； 16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

三．解答題

17. 解：（I）平移以后得

，又關于對稱

, ，

當且僅當時取最大值，

所以，取得最大值時的集合為.…………6分

（II）的最小正周期為；，

，在[上的值域為.…………12分

18．解：（I）當ｎ∈Ｎ時有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

兩式相減得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３�！　撤�

∴＋３＝２（＋３）。

又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

∴數(shù)列｛＋３｝是首項6，公比為2的等比數(shù)列．從而ｃ＝３．　　……６分

（II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

（Ⅲ）假設數(shù)列｛｝中是否存在三項,,,(r<s<t),它們可以構成等差數(shù)列,

∵<<, ∴只能是＋＝２,

∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

即＋＝．∴１＋＝．　

　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均為正整數(shù)，∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列｛｝中不存在可以構成等差數(shù)列的三項．　　………12分

19. （理）解：設從甲袋中取出個白球的事件為，從乙袋中取出個白球的事件為其中＝0，1，2，則，.

（I）,,

所以………………………..6分

（II）分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19．（I）三人恰好買到同一只股票的概率。 ……4分

（II）解法一：三人中恰好有兩個買到同一只股票的概率.……9分

由（I）知，三人恰好買到同一只股票的概率為，所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。 ……12分

20.證明：（I）因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB² 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的

平面角，設為.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而 ……………7分

解法二:以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、

z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為

所以設二面角E-AC-D的平面角為，并設平面EAC的一個法向量是

得

平面ACD的一個法向量取，……………7分

（Ⅲ）解法一:設點F是棱PC上的點，如上述方法建立坐標系.

則

令 , 得

解得即時，

亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面.

又 BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC…………12分

(證法一) 取PE的中點M，連結FM，則FM//CE. ①

由知E是MD的中點.

連結BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點.

所以 BM//OE. ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

(證法二)因為

所以、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分

21．解：（I）

由，又，

，

…… 4分

（II）

，其過點

…… 7分

（Ⅲ）由（2）知、，

、、

得

①當。

②當時，

又、

即

所以直線AB的方程為 …… 12分

22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結合易知y=lnx與y=的交點為A（α，），y=e^x與y=的交點為B（β，）；由K_AB= ―1，易知αβ=2009 …………4分

（Ⅱ）設=，則

∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù) 又∵

∴ ，即，

∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方 …9分

（Ⅲ）當時，左邊=，右邊=，不等式成立；

當時，

=

由已知， ∴ ≥

∴ ≥． ………………………………14分

（文科）解：（Ⅰ）當cosθ＝0時，函數(shù)f(x)＝4x³＋在R上遞增，故無極值. …3分

（Ⅱ）函數(shù)f^、(x)＝12x²－6xcosθ，令f^、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

由于0≤θ≤及（1）結論，f_極小(x)＝f(cosθ)＝－cos³θ＋＞0，

∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)�！�7分

（Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，

由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分

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練習冊

高中

初中

小學

設函數(shù) $數(shù)學公式$ ，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

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設函數(shù)，（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

設函數(shù) $數(shù)學公式$ ，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．