題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當
時
單調遞減；當
時
單調遞增，故當
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當且僅當
. ①
令
則
當
時，
單調遞增；當
時，
單調遞減.
故當
時，
取最大值
.因此，當且僅當
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當
時，
單調遞減；當
時，
單調遞增.故當
，
即
從而
，
又
所以
因為函數
在區間
上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
理C
文B
C
理D
文B
C
A
B
D
C
理A
文C
B
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．
14．11 15．（理）
（文
）16．②④
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步
驟。
17．本小題滿分10分
解：（1）由余弦定理及已知條件得，
1分
∵
3分
∴
5分
（2）由正弦定理及已知條件得，b=
聯立方程組
9分
∴△ABC的周長為
10分
18．本小題滿分12分
解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。
則
（理）4分（文）6分
（2）（理科）
的所有可能取值為-4、0、4、12 5分
9分
的分布列為
-4
0
4
12
3/8
1/3
1/4
1/24
E=
12分
（文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12. 7分
得0分的概率為
8分
得4分的概率為
9分
得12分的概率為
10分
∴該參賽者得分為非負數的概率為
12分
19．本小題滿分12分
解：（1）取AB的中點G，連接CG，FG，
則FG∥BE，且FG=
BE，
∴FG∥CD，且FG=CD，2分
∴四邊形FGCD是平行四邊形，
∴DF∥CG，
又∵CF
平面ABC，
∴DF∥平面ABC, 6分
（2）解法一：設A到平面BDF的距離為h，
由
8分
在△BDF中，
且CB=2,∴
10分
設AB于平面BDF所成的角為
，則
故AB與平面BDF所成的角為
12分
解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角
坐標系，則
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），
F（1，0，1）。…………………………………………………………………………… 8分
∴ 
=（0，2，1），
=（1，-2，0）…………………………………………… 8分
設平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），
∵ n⊥，n⊥，∴ 
即
解得
∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
又設AB與平面BDF所成的角為，則法線n與
所成的角為
，
∴cos()=
=
=
,
即sin
,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分
20．本小題滿分12分
解：（1）∵
-
=0,因為（
）（
）=0，
∵數列
的各項均為正數，∴>0，∴=0，
即
所以數列是以2為公比的等比數列…………………………………3分
∴
是
的等差中項，∴
，∴
∴數列的通項公式
……………………………………………… 6分
（2）由（1）及
log
得，
，………………………………… 8分
∵
…
∴
-…-
①
∴
-…-
②
②-①得，
+…+
=
……………………… （理）10分（文）12分
要使
>50成立，只需 
>50成立，即>52，n
∴使>50成立的正整數n的最小值為5。………………………（理）12分
21．本小題滿分12分
解：（1）由
得（
）
………………1分
當
時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，
∴
≠2，e≠
…………………………………………………………………………2分
當≠2時，
=
恒成立，
即
恒成立，
∵>0，∴
，∴
，……………………………………3分
∵
∵（
）
=2，∴
∴
綜上知
………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）設F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得
整理得
…………………………………………7分
設兩交點為P（
），Q
，則
∵
=
∴
……………………………………………………………8分
∴
消去
得
………………………………………………………………10分
∴>0且
∴
∴
∴所求雙曲線C的方程為
………………………………………………12分
22．本小題滿分12分
（理科）解：（1）
……………………………………………2分
∵x=0時，
取極值0，∴
………………………………………………3分
解得a=1,b=0.經檢驗a=1,b=0符合題意。………………………………………………4分
（2）由a=1,b=0知
由
得
令
則
在
上恰有兩個不同的實數
根等價于
在上恰有兩個不同實數根。
當
時，
<0，于是在（0，1）上單調遞減；
當
時，>0，于是在（1，2）上單調遞增。……………………7分
依題意有
<0，∴
…………………8分
（3）
的定義域為
>
，
由（1）知
當
單調遞減。
當x＞0時，＞0，單調遞增。
∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）
又f（0）=0，故
（當且僅當x=0，等號成立） 10分
對任意正整數n，取
故
=
12分
（文科）解：（1）∵
1分
依題意有
3分
解得
4分
∴
5分
（2）∵
，依題意x1、x2是方程=0的兩個根，
由
∴
7分
設
由
9分
即函數
在區間（0，4）上是增函數，在區間（4，6）上是減函數
當
時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96 10分
∴b的最大值為4
12分
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