長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，D₁D＝3，點M是B₁C₁的中點，點N是AB的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．

(1)寫出點D，N，M的坐標；

(2)求線段MD，MN的長度．

[分析]　(1)D是原點，先寫出A，B，B₁，C₁的坐標，再由中點坐標公式得M，N的坐標；(2)代入空間中兩點間距離公式即可．

已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到

，再利用可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

當今世界進入了計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一運算結果輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數據輸入且滿足以下性質：

①從A輸入1時，從B得到.

②從A輸入整數時，在B得到的結果是將前一結果先乘以奇數，再除以奇數.

（1）求，，；

（2）試由（1）推測的表達式，并用數學歸納法證明；

（3）求.

當今世界進入了計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一個運算結果的輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數據輸入且滿足以下性質：①從A輸入1時，從B得到．②從A輸入整數n(n≥2)時，從B得到的結果f(n)是將前一結果f(n－1)先乘以奇數2n－3，再除以奇數2n＋1．

(1)求f(2)，f(3)，f(4)；

(2)試由(1)推測f(n)的表達式，并給出證明．

當今世界進入了計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一運算結果輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數據輸入且滿足以下性質：
①從A輸入1時，從B得到；
②從A輸入整數n（n≥2）時，在B得到的結果f（n）是將前一結果f（n-1）先乘以奇數2n-3，再除以奇數2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測f（n）的表達式，并用數學歸納法證明；
（3）求．