題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)
，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有
（Ⅰ）試判斷函數(shù)
的奇偶性；
（Ⅱ）試求方程
在閉區(qū)間[－2010，2010]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.
| A、802 | B、803 | C、804 | D、805 |
ABAACBBCDB
155
0
17、解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
18、解: (I) 由于在閉區(qū)間[0，7]上，只有
，故
．若
是奇函數(shù)，則
，矛盾．所以，不是奇函數(shù)．
由
, 從而知函數(shù)
是以
為周期的函數(shù)．
若是偶函數(shù)，則
．又
，從而
．
由于對任意的
（3，7]上，
，又函數(shù)的圖象的關(guān)于
對稱，所以對區(qū)間[7，11）上的任意
均有．所以，
，這與前面的結(jié)論矛盾．
所以，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．
(II) 由第(I)小題的解答，我們知道
在區(qū)間（0，10）有且只有兩個解，并且．由于函數(shù)是以為周期的函數(shù)，故
．所以在區(qū)間[－2000,2000]上，方程共有
個解．
在區(qū)間[2000,2010]上，方程有且只有兩個解．因為
，
所以，在區(qū)間[2000,2005]上，方程有且只有兩個解．
在區(qū)間[－2010,－2000]上，方程有且只有兩個解．因為
，
所以，在區(qū)間[－2005,－2000]上，方程無解．
綜上所述，方程在[－2005,2005]上共有802個解.
19、[解]（1）
（2）方程
的解分別是
和
，由于
在
和
上單調(diào)遞減，在
和
上單調(diào)遞增，因此
.
由于
.
（3）[解法一] 當(dāng)
時，
.
，
. 又
，
①
當(dāng)
，即
時，取
，
.
，
則
.
②
當(dāng)
，即
時，取
， ＝
.
由 ①、②可知，當(dāng)
時，
，.
因此，在區(qū)間
上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當(dāng)時，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
在區(qū)間上，當(dāng)時，
的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點
； 當(dāng)時，
的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.
如圖可知，由于直線過點
，當(dāng)時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
20、解：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)
的圖象上任意一點
關(guān)于原點的對稱點為
，則
∵點
在函數(shù)
的圖象上
∴
(Ⅱ)由
當(dāng)
時，
，此時不等式無解
當(dāng)
時，
，解得
因此，原不等式的解集為
（Ⅲ）
①
②
?）
?）
21、解：（I）∵
，
∴要使
有意義，必須
且
，即
∵
，且
……① ∴的取值范圍是
。
由①得：
，∴
，
。
（II）由題意知
即為函數(shù)
，的最大值，
∵直線
是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當(dāng)
時，函數(shù)
，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由
知在上單調(diào)遞增，故
；
（2）當(dāng)
時，
，，有=2；
（3）當(dāng)
時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若
即
時，
，
若
即
時，
，
若
即
時，。
綜上所述，有=
。
（III）當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
，
，∴
，
，故當(dāng)
時，
；
當(dāng)時，
，由
知：
，故
；
當(dāng)時，
，故
或
，從而有
或
，
要使，必須有
，
，即
，
此時，。
綜上所述，滿足
的所有實數(shù)a為：或。
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