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已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=

3

3

x+

1

x

的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=x+的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=x+的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=x+的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）

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已知中心在坐標原點，坐標軸為對稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C₁，點(

5

，-1)在曲線C₁上，橢圓C的焦點是雙曲線C₁的頂點，且橢圓C與y軸正半軸的交點M到直線x-

3

y-2=0的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C₁和橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側的兩動點，若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

C

A

C

B

C

C

B

B

C

二、填空題

13．（）  14．x=0或y=0     15．4     16．2／3    17．20   18．①④

三、解答題

19．解：A（―4，2）關于直線：對稱的點為，因為直線是中的平分線，可以點在直線上，故直線的方程是，由，，則是以為直角的三角形，，10

20．解：由，，設雙曲線方程為，橢圓方程為，它們的焦點，則

，又，，雙曲線方程為，橢圓方程為

21．解：，設橢圓方程為①，設過和的直線方程為②，將②代入①得－③，設，的中點為代入，，，由③，，解得

22．解：⑴設直線方程為：代入，得

，另知直線與半圓相交的條件為，設，則，，點位于的右側，應有，即，（亦可求出的橫坐標）

⑵若為正，則點到直線距離

與矛盾，在⑴條件下不可能是正△．

23．⑴由題意設橢圓方程為：，則解得： ，所以橢圓方程為：

⑵設“左特征點”，設，為的平分線，，，下面設直線的方程為，代入得：，代入上式得解得

⑶橢圓的“左特征點”M是橢圓的左準線和x軸的交點證明如下：

證明：設橢圓的左準線與x軸相交于點M，過點A、B分別作的垂線，垂足分別為點C、D。據橢圓第二定義得，

∵∥∥，∴，

∴∵與均為銳角，∴。

∴。∴為的平分線。故點為橢圓的“左特征點”。