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如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點為F，準線為直線l，P為拋物線上的一點，過點P作l的垂線，垂足為點Q．當P的橫坐標為3時，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于A，B兩點，交直線l于點M，交y軸于G．
①若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為常數；
②求

GA

•

GB

的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

B

C

A

B

B

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分。

9．55     10．-3     11．    12．      13．1     14．2    15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16．（本小題滿分12分）

已知向量,,,設.

（I）求函數的最小正周期。（II）,求的值域。

解：（I）因為

                 ………………………………………………………4分

            所以函數的最小正周期.……………………………………6分

（II）因為,

………………………………………………………………………8分

所以……………………………………………………………10分

所以。 ……………………………………………………………… 12分

17．（本小題滿分12分）

(1); ………………………………………………………4分

         (2); …………………………………………………………… 8分

         (3)表面積S=48. ……………………………………………………………… 12分

18．（本小題滿分14分）

解答(1)x=1+1+1=3  或者x=-1-1-1=-3---------（4分）

 (2)

i

I=3

I=5

P

(0.5³)+ (0.5³)=0.25

1-0.25=0.75

Ei=3×0.25+5×0.75=4.5---------------（8分）

 (3)

ξ

ξ=1

ξ=3

P

18×0.5⁵=

6×0.5⁵+2×0.5³=

Eξ=1×+3×=----------（14分）

所有情況列表（僅供參考）

ξ

x

x

ξ=1

-1

-1-1+1-1+1

+1

-1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1

-1-1+1+1-1

-1+1-1-1+1

-1+1-1-1+1

-1+1-1+1-1

-1+1-1+1-1

-1+1+1-1-1

-1+1+1-1-1

+1-1-1-1+1

+1-1-1-1+1

+1-1-1+1-1

+1-1-1+1-1

+1-1+1-1-1

+1-1+1-1-1

+1+1-1-1-1

+1+1-1-1-1

ξ=3

-3

+1-1-1-1-1

+3

-1+1+1+1+1

-1+1-1-1-1

+1-1+1+1+1

-1-1+1-1-1

+1+1-1+1+1

-1-1-1

+1+1+1

19、（本小題滿分14分）

 解：（I）∵  ∴  ∴

∴ ………3分

∴ ………………………………4分

設  ∴

  ∴…………………………………………6分

∴……………………………………………………………………7分

（II）∵， ………………………………………………………8分 

∴…………………………………………………………………9分

     ∴…………………………………………………………10分

     由……………………12分

     …………………………………………………………14分

∴直線EF與拋物線相切。

20．（本小題滿分14分）

解：（1）∵x，y

令為恒為零

∴

令

∴

顯然

又函數為單調函數，可得為等差數列

∴  從而---------------------------------------------------------（6分）

   （2）∵

∴

是遞增數列。--------------------------------（12分）

當時， ------------------------------------------------------（14分）

21、（本小題滿分14分）

解：（1）由已知得函數，且

當又∵

當

∴函數的單調遞增區間是

（2）設,

則  （5分）

當

又上連續，內是增函數。（7分）

  （8分）

  （9分）

    （10分）

（3）方法一由（1）知，設

將……12分

即

 （14分）

內是增函數。