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雙曲線的離心率e=2，F₁，F₂是左，右焦點，過F₂作x軸的垂線與雙曲線在第一象限交于P點，直線F₁P與右準線交于Q點，已知
（1）求雙曲線的方程；
（2）設過F₁的直線MN分別與左支，右支交于M、N，線段MN的垂線平分線l與x軸交于點G（x，0），若1≤|NF₂|＜3，求x的取值范圍．

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雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上，
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）若此雙曲線過，求雙曲線的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D₁、D₂分別是雙曲線的虛軸端點（D₂在y軸正半軸上），過D₁的直線l交雙曲線于點M、N，，求直線l的方程．

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（吉林、黑龍江、廣西）

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

A

B

C

C

A

D

A

C

B

C

二、填空

13 (x-1)²+(y-2)²=4；      14、- ； 15、 384；16、①②③④

三、解答題：

17、本小題主要考查指數函數的性質、不等式性質和解法，考查分析問題的能力和運算能力

解：∵f (x)=2^|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.

當x≤ -1時，原不等式化為：-2≥(舍)；

當-1<x≤ 1時，原不等式化為：2x≥ ∴x≥.

∴此時，≤ x≤ 1；

當x>1時, 原不等式化為：2≥,

此時,x>1.

故原不等式的解集為：{x|x≥ }.

18、本小題主要考查等差數列、等比數列的基本知識以及運用這些知識的能力

⑴證明：設{a_n}中首項為a₁，公差為d.

∵lga₁,lga₂,lga₄成等差數列  ∴2lga₂=lga₁?lga₄   ∴a₂²=a₁?a₄.

即(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)   ∴d=0或d=a₁.

當d=0時, a_n=a₁, b_n=, ∴，∴為等比數列；

當d=a₁時, a_n=na₁ ,b_n=，∴，∴為等比數列.

綜上可知為等比數列.

⑵∵無窮等比數列{b_n }各項的和

∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a₁ . b_n=

∴, ∴a₁=3.

∴.

19、本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力

解：ξ的所有取值為3,4,5

P(ξ=3)=；

P(ξ=4)=；

P(ξ=5)=.

ξ

3

4

5

P

0.28

0.3744

0.3466

∴ξ的分布列為：

∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.

20、本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識、及思維能力和空間想象能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力

解：方法一：

⑴取PA中點G, 連結FG, DG.

.

⑵設AC, BD交于O，連結FO.

.

設BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

設C到平面AEF的距離為h.

∵V_C-AEF=V_F-ACE, ∴. 即  ∴. ∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.

即AC與平面AEF所成角為.

21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質，兩條直線垂直的條件、兩點間的距離、不等式的性質等基本知識及綜合分析能力

解：∵. 即.

當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸.

∵F(0, 1) ∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2.

∴S_{四邊形PMQN}=|MN|?|PQ|=××2=2.

當MN,PQ都不與坐標軸垂直時，設MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k²+2)x²+2kx-1=0,  ∴x₁+x₂=, x₁?x₂=.

∴

同理可得：.

∴S_{四邊形PMQN}=|MN|?|PQ|==

(當且僅當即時，取等號).

又S_{四邊形PMQN} =，∴此時, S_{四邊形PMQN}.

綜上可知：(S_{四邊形PMQN} )_max=2,  (S_{四邊形PMQN} )_min=.

22、本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力

解：⑴令=0  即[x²-2(a-1)x-2a]e^x=0  ∴x²-2(a-1)x-2a=0

∵△=[2(a-1)]²+8a=4(a²+1)>0  ∴x₁=, x₂=

又∵當x∈(-∞, )時，>0；

當x∈(, )時，<0；

當x∈(, +∞)時，>0.

∴x₁, x₂分別為f (x)的極大值與極小值點.

又∵；當時.

而f ()=<0.

∴當x=時，f (x)取得最小值.

⑵f (x)在[-1, 1]上單調，則≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.

而=[x²-2(a-1)x-2a]e^x, 令g(x)= x²-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]²-(a²+1).

∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).

當g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立時有：

①當-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2時, g(x)_min=g(a-1)= -(a²+1) ≥ 0(舍)；

②當a-1>1即a ≥ 2時, g(x)_min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).

當g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立時，有：

①當-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1時, g(x)_max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；

②當0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2時, g(x)_max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；

③當1< a-1即a > 2時, g(x)_max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.

故a∈[,+∞].