題目列表(包括答案和解析)
一支車隊有15輛車，某天依次出發執行運輸任務，第一輛車于下午2時出發，第二輛車于下午2時10分出發，第三輛車于下午2時20分出發，依此類推。假設所有的司機都連續開車，并都在下午6時停下來休息。
（1）到下午6時最后一輛車行駛了多長時間？
（2）如果每輛車的行駛速度都是60
，這個車隊當天一共行駛了多少千米?
【解析】第一問中，利用第一輛車出發時間為下午2時，每隔10分鐘即
小時出發一輛
則第15輛車在
小時，最后一輛車出發時間為：
小時
第15輛車行駛時間為：
小時（1時40分）
第二問中，設每輛車行駛的時間為:
,由題意得到
是以
為首項，
為公差的等差數列
則行駛的總時間為：
則行駛的總里程為：
運用等差數列求和得到。
解：（1）第一輛車出發時間為下午2時，每隔10分鐘即小時出發一輛
則第15輛車在小時，最后一輛車出發時間為：小時
第15輛車行駛時間為：小時（1時40分）
……5分
（2）設每輛車行駛的時間為:,由題意得到
是以為首項，為公差的等差數列
則行駛的總時間為： ……10分
則行駛的總里程為：
已知數列
是公差不為零的等差數列，
，且
、
、
成等比數列。
⑴求數列的通項公式；
⑵設
，求數列
的前
項和
。
【解析】第一問中利用等差數列
的首項為
，公差為d，則依題意有：
第二問中，利用第一問的結論得到數列的通項公式，
，利用裂項求和的思想解決即可。
已知函數
；
（1）若函數
在其定義域內為單調遞增函數，求實數
的取值范圍。
（2）若函數
，若在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，求實數的取值范圍。
【解析】第一問中，利用導數
，因為在其定義域內的單調遞增函數，所以
內滿足
恒成立，得到結論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，等價于不等式
在[1，e]上有解，轉換為不等式有解來解答即可。
解：（1），
因為在其定義域內的單調遞增函數，
所以 內滿足恒成立，即
恒成立，
亦即
，
即可 又
當且僅當
，即x=1時取等號，
在其定義域內為單調增函數的實數k的取值范圍是
.
（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設
上的增函數，
依題意需
實數k的取值范圍是
已知
，函數
（1）當
時，求函數
在點(1，
)的切線方程；
(2)求函數在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個實數x0，使
>g(xo)成立，求正實數
的取值范圍。
【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中
，那么當時，
又 
所以函數在點(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當時， 又
∴ 函數在點(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當
即時
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當
即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設，
對
求導，得
∵
， 
∴ 在區間
上為增函數，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實數的取值范圍是（
，
）
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標原點）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關系，以及、和
之間的等量關系；
（2）求證：
（
）；
（3）設
，對所有，
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當
時，可求得
，命題成立；②假設當
時，命題成立，即有
則當
時，由歸納假設及
，
得
第三問
．………………………2分
因為函數
在區間
上單調遞增，所以當時，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立；
……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
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）
