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講解:(1)依題意得 . 【查看更多】

本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時針旋轉90°的旋轉變換，對應的變換矩陣為M₁，變換T₂對應的變換矩陣是M2=

11

01

；
（I）求點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標；
（II）求函數y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標系與參數方程
從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動點P的極坐標方程；
（Ⅱ）設R為l上的任意一點，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為{x|x≥

1

2

或x≤-

5

6

}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對一切實數x恒成立，求實數b的取值范圍．

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本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時針旋轉90°的旋轉變換，對應的變換矩陣為M₁，變換T₂對應的變換矩陣是

；
（I）求點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標；
（II）求函數y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標系與參數方程
從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動點P的極坐標方程；
（Ⅱ）設R為l上的任意一點，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為

，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對一切實數x恒成立，求實數b的取值范圍．

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本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時針旋轉90°的旋轉變換，對應的變換矩陣為M₁，變換T₂對應的變換矩陣是M2=

11

01

；
（I）求點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標；
（II）求函數y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標系與參數方程
從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動點P的極坐標方程；
（Ⅱ）設R為l上的任意一點，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為{x|x≥

1

2

或x≤-

5

6

}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對一切實數x恒成立，求實數b的取值范圍．

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例10 為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業性貸款利率如下：

貸款期(年數)

公積金貸款月利率(‰)

商業性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

5.025

……

    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數是多少?
    (參考數據：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解設月利率為r，每月還款數為a元，總貸款數為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數　
    得：

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當月的計劃還款數2210.59元，當月共還款43880.12元．

需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

例11 醫學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數與天數的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

天數t

病毒細胞總數N

1

2

3

4

5

6

7

…

1

2

4

8

16

32

64

…

講解（1）由題意病毒細胞關于時間n的函數為, 則由

兩邊取對數得 n27.5,

即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.

（2）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為,

再經過x天后小白鼠體內病毒細胞為,

由題意≤10⁸，兩邊取對數得

，

故再經過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．

本題反映的解題技巧是“兩邊取對數”，這對實施指數運算是很有效的.

例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數.

（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；

（2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？

講解（1）∵g(t)為常數, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .

(2) 我們易證得0<t₁<t₂, 則

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,

∵g(0)?<0,t₁<t₂,e>e,

∴g(t₁)<g(t₂) .

故湖水污染質量分數隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.

高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現.當然,數學高考應用性問題關注當前國內外的政治,經濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.

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