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(理)設(shè)函數(shù)f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數(shù)圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點．

(1)求實數(shù)t的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)t，使得線段AB(包括兩端點)與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

(理)對任意實數(shù)x、y,函數(shù)f(x)、g(x)滿足f(x+1)=f(x),且f(0)=3,g(x+y)=g(x)+2y,g(5)=13,n∈N^*.

(1)求{f(n)}、{g(n)}的通項公式;

(2)設(shè)c_n=g［f(n)］,求數(shù)列{c_n}的前n項和;

(3)已知=0,設(shè)F(n)=S_n-3n,是否存在整數(shù)m和M,使得對任意正整數(shù)n,不等式m＜F(n)＜M恒成立?若存在,分別求出m和M的集合,并求出M-m的最小值;若不存在,請說明理由.

(文)已知f(x)=x³-3x,g(x)=2ax².

(1)當-≤a≤時,求證:F(x)=f(x)-g(x)在(-1,1)上是單調(diào)函數(shù);

(2)若g′(x)≤〔g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)〕在［-1,］上恒成立,求a的取值范圍.

(理)設(shè)a₁,a₂,…,a₂₀是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.對于滿足0≤k≤19的整數(shù)k,數(shù)列b₁,b₂,…,b₂₀由b_n=確定.記M=.

(1)當k=1時,求M的值;

(2)求M的最小值及相應(yīng)的k的值.

(文)設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁=a(a∈R),且a_n+1=n=1,2,3,….

(1)若0＜a＜1,求a₂、a₃、a₄、a₅;

(2)若0＜a_n＜4,證明0＜a_n+1＜4;

(3)若0＜a≤2,求所有的正整數(shù)k,使得對于任意n∈N^*,均有a_n+k=a_n成立.

(理)如果有窮數(shù)列a₁,a₂,a₃,…,a_n(n為正整數(shù))滿足條件a₁=a_n,a₂=a_n-1,…,a_n=a₁,即a_i=a_n-i+1(i=1,2,…,n),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如,由組合數(shù)組成的數(shù)列,,…,就是“對稱數(shù)列”.

(1)設(shè){b_n}是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差數(shù)列,且b₁=2,b₄=11.依次寫出{b_n}的每一項.

(2)設(shè){c_n}是項數(shù)為2k-1(正整數(shù)k＞1)的“對稱數(shù)列”,其中c_k,c_k+1,…,c_2k-1是首項為50,公差為-4的等差數(shù)列.記{c_n}各項的和為S_2k-1,當k為何值時,S_2k-1取得最大值?并求出S_2k-1的最大值.

(3)對于確定的正整數(shù)m＞1,寫出所有項數(shù)不超過2m的“對稱數(shù)列”,使得1,2,2²,…,2^m-1依次是該數(shù)列中連續(xù)的項;當m＞1 500時,求其中一個“對稱數(shù)列”前2 008項的和S₂₀₀₈.

(文)如果有窮數(shù)列a₁,a₂,a₃,…,a_m(m為正整數(shù))滿足條件a₁=a_m,a₂=a_m-1,…,a_m=a₁,即a_i=a_m-i+1(i=1,2,…,m),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如,數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,2,4,8都是“對稱數(shù)列”.

(1)設(shè){b_n}是7項的“對稱數(shù)列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差數(shù)列,且b₁=2,b₄=11.依次寫出{b_n}的每一項;

(2)設(shè){c_n}是49項的“對稱數(shù)列”,其中c₂₅,c₂₆,…,c₄₉是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求{c_n}各項的和S;

(3)設(shè){d_n}是100項的“對稱數(shù)列”,其中d₅₁,d₅₂,…,d₁₀₀是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,求{d_n}前n項的和S_n(n=1,2,…,100).