題目列表(包括答案和解析)
在數列
中，
，
，且
；
（1）設
，證明
是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若
是
與
的等差中項，求
的值，并證明：對任意的
，
是
與
的等差中項；
在數列
中，
，
，且
；
（1）設
，證明
是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若
是
與
的等差中項，求
的值，并證明：對任意的
，
是
與
的等差中項；
在數列
中，
，
且
．
（1）求
，
的值；
（2）證明：數列
是等比數列，并求的通項公式；
（3）求數列的前
項和
．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1～5 D A B D C 6～
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.
； 14.21 ；
15.
； 16.
.
三、解答題（本大題共6小題，共74分）
17.（本題滿分13分）
解：(1)甲、乙兩衛星各自預報一次，記“甲預報準確”為事件A，“乙預報準確”為事件B.則兩衛星只有一顆衛星預報準確的概率為：
… 4分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6分
答：甲、乙兩衛星中只有一顆衛星預報準確的概率為0.35 ………7分
(2) 甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為
…………10分
＝
＝0.896
………………………12分
答：甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為0.896. ……… 13分
18.（本題滿分13分）
解：(1)∵
…………………2分
＝
＝
……………6分
∴函數
的最小正周期
…………………7分
又由
可得：
的單調遞增區間形如：
……9分
(2) ∵
時，
，
∴
的取值范圍是
………………11分
∴函數的最大值是3，最小值是0
從而函數的是
…………13分
19.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
∴由已知條件可得：
，并且
，
解之得：
，
……………3分
從而其首項
和公比
滿足：
………5分
故數列
的通項公式為：
……6分
(2) ∵
數列
是等差數列，
…………………………8分
∴
＝
＝
=
…………………10分
由于
，當且僅當
最大時，
最大.
所以當最大時，
或6 …………………………12分
20.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
為奇函數 ∴
………2分
∵
，導函數
的最小值為-12 ∴
……3分
又∵直線
的斜率為
，
并且
的圖象在點P
處的切線與它垂直
∴
，即
∴
……………6分
(2) 由第(1)小題結果可得：
……………9分
令
，得
……………10分
∵
，
，
∴在
[-1, 3]的最大值為11，最小值為-16. ………12分
21.（本題滿分12分）
解：(1) ∵函數
有意義的充要條件為
，即是 
∴函數的定義域為
…………3分
∵函數
有意義的充要條件為：
∴函數的定義域為
…………5分
(2)∵由題目條件知
∴
，
…………………7分
∴c的取值范圍是：[－5, 5] …………………8分
(3) 
即是
∵是奇函數，∴
………………9分
又∵函數的定義域為
，并且是增函數
∴ 
………………11分
解之得
的取值范圍是：
=
…………12分
22.（本題滿分12分）
解：(1) 設雙曲線的漸近線方程為
，即
，
∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑
∴
∴雙曲線的漸近線的方程為：
……………2分
又設雙曲線的方程為：
，則
∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個焦點為
∴
，
………………4分
解之得：
，故雙曲線的方程是：
……………5分
(2) 聯立方程組
，消去
得：
（*）…………6分
∵直線與雙曲線C的左支交于兩點，方程（*）兩根
、
為負數，
∴
…………8分
又∵線段PQ的中點
坐標滿足
，
……9分
∴直線
的方程為：
，
即是
，
直線在軸的截距
……………………11分
又∵時，
的取值范圍是：
∴直線的截距
的取值范圍是
……12分
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