題目列表(包括答案和解析)
第26屆世界大學生夏季運動會將于2011年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
男 女
9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
1)根據以上莖葉圖，完成以下頻率分布表，并畫出它的頻率分布直方圖。
| 分組 | 頻數 | 頻率 |
| [150,159) | ||
| 總計 |
2）從所列頻率分布直方圖估計該批志愿者的平均身高；
3）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”。如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.B 2. C 3. D 4.C 5.B 6.D 7.A 8. B.
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9.
； 10.（-1，2）； 11.0； 12.
（或
）；
13.（1）
或 
；（2）16；（3）
.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
14.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵
當
時，其圖象如右圖所示.---4分
（Ⅱ）函數的最小正周期是
，其單調遞增區間是
；由圖象可以看出，當
時，該函數的最大值是
.--------------7分
（Ⅲ）若x是△ABC的一個內角，則有
，∴
由
，得
∴
∴
，
，故△ABC為直角三角形. --------------12分
15．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
--------6分
（Ⅱ）當
時，
----------12分
16．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條
側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的
正方形，高為CC1=6，故所求體積是
------------------------4分
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，
其拼法如圖2所示. ------------------------6分
證明:∵面ABCD、面ABB
正方形，于是
故所拼圖形成立.---8分
（Ⅲ）方法一：設B1E，BC的延長線交于點G，
連結GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，
連結HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中，
，則
，
，
，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為
.---14分
方法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.
設向量n=（x，y，z），滿足n⊥
，n⊥
，
于是
，解得
.
--------------------12分
取z=2，得n=（2，-1，2）. 又
（0，0，6），
故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.
----------------14分
17．（本小題滿分14分）
解：分別記該考生考上第1、2、3批分數線為事件A、B、C，被相應志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨立. -------------------------------------2分
（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數線和僅上第2批分數線兩種情況，故所求概率為
. -----------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）設該考生所報志愿均未錄取的概率為
，則
.
∴該考生能被錄取的概率為
. ------------10分
，當
時，
.
在[1，3]上是增函數.---------------------------------3分
≤
，即 -2≤
，都有
≤M成立.
是[1，3]上的有界函數.---------------------------6分
. 由
≤1，得
≤1
，則
.
時，有
，
上單調遞減.
-------------------------------10分
；
，當t→+∞時，
，從而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
的半焦距為：
，
的準線為：
. 
，依題意有
，
，又
.
. ------------------------4分
與雙曲線M的交點為
、
兩點
消去y得
，
，從而有
，
.
，
.
，則有 
，即
.
時，使得
,使A、B兩點關于直線
對稱，則必有 
，
時，由
得 
在直線
代入上式得
；又
， ∴
，得 
.
，使A、B兩點關于直線