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在關于人體脂肪含量y（百分比）和年齡x關系的研究中，得到如下一組數據

（Ⅰ）畫出散點圖，判斷x與y是否具有相關關系；

（Ⅱ）通過計算可知

?

b

=0.65，

?

a

=-2.72，請寫出y對x的回歸直線方程，并計算出23歲和50歲的殘差．

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在關于人體脂肪含量（百分比）和年齡關系的研究中，得到如下一組數據

年齡	23	27	39	41	45	50
脂肪含量	9.5	17.8	21.2	25.9	27.5	28.2

（Ⅰ）畫出散點圖，判斷與是否具有相關關系；

（Ⅱ）通過計算可知，
請寫出對的回歸直線方程，并計算出歲和歲的殘差.

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一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）

1．B    2．A    3．D      4．C     5．D    6．C

7．A    8．C    9．B      10．C    11．A   12．B   

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13.

14.

15. 增函數的定義

16. 與該平面平行的兩個平面

三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）

17．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）涉及兩個變量，年齡與脂肪含量．

因此選取年齡為自變量，脂肪含量為因變量．

作散點圖，從圖中可看出與具有相關關系．             

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）對的回歸直線方程為

．        

當時，，．

當時，，．

所以歲和歲的殘差分別為和.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

18A. (本小題滿分12分)

證明：由于，，

所以只需證明．

展開得，即．

所以只需證．

因為顯然成立，

所以．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

18B. (本小題滿分12分)

證明：（Ⅰ）因為，所以．

由于函數是上的增函數，

所以．

同理， ．

兩式相加，得．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）逆命題：

若，則．

用反證法證明

假設，那么

所以．

這與矛盾．故只有，逆命題得證．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

19A. (本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）由于，且．

所以當時，得，故．

從而．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）數列不可能為等差數列，證明如下：

由，得

，，．

若存在，使為等差數列，則，

即，解得．

于是，．

這與為等差數列矛盾．所以，對任意，數列都不可能是等差數列．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

19B. (本小題滿分12分)

解：（Ⅰ），．

，．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

．

猜想：是公比為的等比數列．

證明如下：因為，

又，所以，

所以數列是首項為，公比為的等比數列．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分