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在圓柱OO′中，△ABC是其下底面的內接正三角形，B₁、C₁是其上底面的兩點，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求幾何體ABB₁C₁C與圓柱OO'的體積之比；
（2）當點D是AC中點時，證明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=∠BC₁C=90°，A₁C₁=a，C₁B=2a．
（I）求證AB⊥平面AA₁C₁C；
（II）求證C₁C⊥平面ABC₁；
（III）求AC與BC₁所成的角．