題目列表(包括答案和解析)
已知函數
。
（1）求函數的最小正周期和最大值；
（2）求函數的增區間；
（3）函數的圖象可以由函數
的圖象經過怎樣的變換得到？
【解析】本試題考查了三角函數的圖像與性質的運用。第一問中，利用可知函數的周期為
，最大值為
。
第二問中，函數
的單調區間與函數
的單調區間相同。故當
，解得x的范圍即為所求的區間。
第三問中，利用圖像將的圖象先向右平移
個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的
（縱坐標不變），然后把縱坐標伸長為原來的
倍（橫坐標不變），再向上平移1個單位即可。
解：（1）函數
的最小正周期為，最大值為。
（2）函數的單調區間與函數的單調區間相同。
即
所求的增區間為
，
即
所求的減區間為
，
。
（3）將的圖象先向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），然后把縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變），再向上平移1個單位即可。
設三臺儀器出故障的概率分別是p1、p2、p3，求出故障的儀器數ξ的數學期望。
已知冪函數
滿足
。
（1）求實數k的值，并寫出相應的函數
的解析式；
（2）對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數
，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。
【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用，冪函數
滿足，得到
因為
，所以k=0，或k=1，故解析式為
（2）由（1）知，
，
，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：
，結合二次函數的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到
（1）對于冪函數滿足，
因此，解得
，………………3分
因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，
當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，。………………6分
（2）函數，………………7分
由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，
當時，
，因為在區間
上的最大值為5，
所以
，或
…………………………………………10分
解得滿足題意
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