題目列表(包括答案和解析)
數列
的前
項和為
，數列
的前項的和為
，為等差數列且各項均為正數，
，
，
（Ⅰ）求證：數列是等比數列；
（Ⅱ）若
，
，
成等比數列，求．
數列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上.
(Ⅰ)求證：數列
是等差數列，并求的通項公式
；
（Ⅱ）若數列
滿足
，求數列的前項和
；
數列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上．
⑴求證：數列
是等差數列；
⑵若數列
滿足
，求數列的前項和
；
⑶設
，求證：
．
數列
的前
項和為
，
．
（Ⅰ）設
，證明：數列
是等比數列；
（Ⅱ）求數列
的前項和
.
（Ⅲ）若
，
，求不超過
的最大的整數值．
數列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上.
(Ⅰ)求證：數列
是等差數列，并求的通項公式
；
（Ⅱ）若數列
滿足
，求數列的前項和
；
一、填空題：
1. 
2. 三 3. 1 4. 25 5. 
6. -1 7. 
8. (1,0)
9. 
10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
二、解答題：
15. 解：（1）因為
，
，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
因此，當
，即
（
）時，
取得最大值
；…8分
（2）由
及
得
，兩邊平方得
，即
．……………………………………………12分
因此，
．……………………………14分
16.解：由已知不等式得
①
或 
②
不等式①的解為
不等式②的解為
或
…………………………………………………4分
因為，對或或時，P是正確的………………………..6分
對函數
求導
…8分
令
，即
當且僅當D>0時，函數f(
)在(－¥,+¥)上有極值
由
得
或
，
因為，當或時，Q是正確的………………………………………………12分
綜上，使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為(-¥,-1)È
……….14分
17.解：（1）因為函數
的圖象關于原點對稱，所以
即
，
，得
或
……………………………………….2分
當
時，
舍去；
當時，
，令
，解得
或
.
所以符合條件的m值為-1 …………………………………………………………………4分
（2）由（1）得
，任取
，
……………………6分
∴
，
∴
………………………………………………………………….8分
∴當
時，
即
，此時
為增函數；
當
時，
即
，此時為減函數…10分
（3）由（2）知，當時在
上為減函數；同理在
上也為減函數
當
時，
與已知矛盾，舍去；………………12分
當
時，因為函數的值域為
∴
且
，解得
，
……………………………………14分
18.解：（1）由
，令
，則
，又
，所以
.
，則
. …………………………………………………………………………………….2分
當
時，由，可得
. 即
..6分
所以
是以為首項，
為公比的等比數列，于是
. ……8分
（2）數列
為等差數列，公差
,可得
. ….10分
從而
. ……………………………………………..12分
∴
……….16分
19.解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為
，全程運輸成本為
……………………………………….4分
故所求函數及其定義域為
………………………….6分
(2)依題意知a，v都為正數，故有
當且僅當
．即
時上式中等號成立………………………...8分
（1）若
，即
時則當時，全程運輸成本y最小.10分
（2）若
，即
時，則當
時，有
.
。也即當v=100時，全程運輸成本y最小．…….14分
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為千米/時；
當時行駛速度應為v=
20．解： (1) 
，當
，
，單調遞減，當
，
，單調遞增．………………………………………………………………..2分
① 
，t無解；
② 
，即
時，
；
③ 
，即
時，在
上單調遞增，
；
所以
．…………………………………………………………..6分
(2) 
，則
，………………………………………..8分
設
，則
，
，
，
單調遞減，
，
，單調遞增，所以
……………………….10分
因為對一切
，
恒成立，所以
；………………..12分
（3） 問題等價于證明
，由⑴可知
的最小值是
，當且僅當
時取到………………………………………………………….14分
設
，則
，易得
，當且僅當
時取到，從而對一切，都有
成立．……………………………..16分
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