題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù)，且
。
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)
的解析式；
（2）判斷在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）寫出的單調(diào)減區(qū)間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值。（本小問不需要說明理由）
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運用。第一問中，利用函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且。
解得
，
（2）中，利用單調(diào)性的定義，作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
（3）中，由2知，單調(diào)減區(qū)間為
，并由此得到當(dāng)，x=-1時，
，當(dāng)x=1時，
解：（1）
是奇函數(shù)，
。
即
，
，………………2分
，又，
，，
（2）任取
，且
，
，………………6分
，
，
，
，
，
在（-1，1）上是增函數(shù)。…………………………………………8分
（3）單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng)，x=-1時，，當(dāng)x=1時，。
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當(dāng)時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
（本小題滿分12分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：
|
編號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x |
169 |
178 |
166 |
175 |
180 |
|
y |
75 |
80 |
77 |
70 |
81 |
已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件.
（I）求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（Ⅱ）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175，且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（Ⅲ）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)
的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）.
（本小題滿分13分）
為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
| y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)
的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。
已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋
)＋
－
＋
sinx·cosx
⑴ 求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間； ⑵ 若xÎ[0,
]，求f(x)的最值；
⑶ 若f(a)＝
，2a是第一象限角，求sin2a的值.
【解析】第一問中，利用f(x)＝
cos2x－
sin2x－cos2x＋
sin2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－
)令＋2kp≤2x－≤
＋2kp，
解得＋kp≤x≤
＋kp
第二問中，∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]，
∴當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝－,
當(dāng)2x－＝，
即x＝時，f(x)max＝1
第三問中，(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp
∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝
利用構(gòu)造角得到sin2a＝sin[(2a－)＋]
解：⑴ f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x ………2分
＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)
……………………3分
⑴ 令＋2kp≤2x－≤＋2kp，
解得＋kp≤x≤＋kp
……………………5分
∴ f(x)的減區(qū)間是[＋kp,＋kp](kÎZ) ……………………6分
⑵ ∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]， ……………………7分
∴當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝－, ……………………8分
當(dāng)2x－＝，
即x＝時，f(x)max＝1
……………………9分
⑶ f(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp
∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝, ……………………11分
∴ sin2a＝sin[(2a－)＋]
＝sin(2a－)·cos＋cos(2a－)·sin ………12分
＝×＋×＝
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