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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

•

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

已知函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，又f(

3

)=2-

3

，g（1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

滿足復合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對數的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g(x)=

ln|x|

|x|

，x∈[-e，0)，求證：當a=-1時，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

已知關于x的方程

sinx

x

=k(k∈(0，1))在（-3π，0）∪（0，3π）內有且僅有4個根，從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄．
（1）求證：x₄=tanx_4．
（2）是否存在常數k，使得x₂，x₃，x₄成等差數列？若存在求出k的值，否則說明理由．

已知圓方程x²+y²-2ax-4ay+5a²-4=0（a∈R）．
（1）求圓的半徑，圓心坐標并求出圓心坐標所滿足的直線方程；
（2）試問：是否存在直線l，使對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．