題目列表(包括答案和解析)
如圖，四棱錐
中，
底面
,
且
，
與底面成
角，點
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）當
時，求異面直線
所成的角.
如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=| 39 |
| 3 |
如圖，四棱錐
中，底面
為直角梯形,
∥
, 
，
平面
,且
，
為
的中點
（1） 證明：面
面
（2） 求面
與面
夾角的余弦值．
如圖，四棱錐
中，底面
為矩形，
底面，且
,
,點
是
中點．
（Ⅰ）若
為
中點，證明：
//平面
；
（Ⅱ）若是邊上任一點，證明：
；
（Ⅲ）若
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
如圖，四棱錐
中，底面
是
的菱形，
側面
是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，
為
的中點.
(1)求證：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
一．選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空題：
9．6、30、10；
10．
；
11．
；
12．
；
13．{
0<
≤3}；
14．③④
三、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．解： 
； ………5分
方程
有非正實數根
綜上：
……………………12分
16. 解：（Ⅰ）設取出的4件中有2件合格品或3件合格品分別為事件A、B，則
∵A、B為兩個互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
答： 取出2件合格品或3件合格品的概率為…………6分
（Ⅱ）取出4件都為合格品的事件為C，則P（C）=
至少取出一件次品的事件為事件C的對立事件,其概率為
答：至少取出一件次品的概率為
.…………13分
17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋
a＝
，b＝－2。。。。。。。。。4分
f¢（x）＝3
2－－2＝（3＋2）（－1），函數f（x）的單調區間如下表：
（－¥，－
）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
極大值
¯
極小值
所以函數f（）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥）
遞減區間是（－，1）。。。。。。。。。。。7分
（2）f（x）＝3－
2－2＋c，Î
，由（1）當＝－時，f（x）＝
＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c
解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）證明：∵
底面
，
底面，∴
又∵
且
平面
， 
平面， 
，
∴
平面；
4分
（Ⅱ）解：∵點
分別是
的中點，
∴
，由（Ⅰ）知平面，∴
平面，
∴
，
，
∴
為二面角
的平面角，7分
∵底面，
∴
與底面所成的角即為
，
∴＝
，
∵
為直角三角形斜邊的中點，
∴
為等腰三角形，且
，
∴
，∴二面角的大小為
；9分
（Ⅲ）法１：過點
作
交
于點
，則
或其補角即為異面直
線
所成的角，11分
∵為
的中點,∴為為的中點, 設
，則由
得
，又
，∴
∴
＝
，∴
，
∴由（Ⅱ）知
為直角三角形，且 
，
，∴
，
在直角三角形
中，
，
∴
，
∴在三角形
中，
，13分
∴
為直角三角形，為直角，
∴異面直線所成的角為
．14分
或者用三垂線定理，首先證明DB與BC垂直也可以
因為 ∴＝，又
，
所以
，即DB與BC垂直
法２：以點
為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設
，則
，
，
，則
則
，
，
，
，∴異面直線所成的角為……………．
14分
19．解：1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；……….4分
（2）＝
在（1，＋∞）上是單調遞減函數，
任取
、
∈（1，＋∞），且設＜，則：
－
＝
＞0，
∴＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數；……………9分
（3）當直線
＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜…………..14分
20．解
（1）當
時， 
設為其不動點，即
則
的不動點是－1，2………..
4分
（2）由
得：
. 由已知，此方程有相異二實根，
恒成立，即
即
對任意
恒成立.
…………………. …………10分
（3）設
，
直線
是線段AB的垂直平分線， ∴ 
記AB的中點
由（2）知
化簡得：
時，等號成立）.
……………………………………………………………14分
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