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（本小題滿分12分）已知等比數列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；

   （Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數，其中a為常數.

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調區間.

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一、選擇題：1~12(5×12=60)

題號

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

A

B

C

D

B

D

C

B

C

C

D

二、填空題：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答題：

17.解：(1)根據已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)當a=時由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos²()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

              ∵函數f(x)在x=3處取得極值

              ∴x=3時，f′(x)=0

∴a=3                                                                                         5分

          (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

              i)當a=1時，f′(x)≥0恒成立

               函數f(x)在(-∞，+∞)上單調增                                                  7分

              ii)當a<1時，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調增區間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           9分

              iii)當a>1時，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調增區間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           11分

                綜上：當a=1時，函數f(x)的增區間為(-∞，+∞)

                當a<1時，函數f(x)的增區間為

                (-∞，1)，(1，+∞)

                當a>1時，函數f(x)的增區間為

                (-∞，1)，(a，+∞)                                                                 12分

19.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中點分別為M、N，連接MN、NB₁、MB₁，

              ∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

              ∴∠MNB₁是CE與AC₁成角的補角                                            2分

              Rt△NB₁C₁中，NB₁=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB₁中，MB₁=

              ∴cos∠MNB₁=-

              ∴CE與AC₁的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P，則A₁D在面BCC₁B₁上的射影為C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B為正方形

              ∴P為BC中點，D為AB中點，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

              ∴CD⊥面ABB₁A₁                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A₁DE

              ∴過D作DF⊥A₁E于F，連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A₁E

              ∴∠CFD為二面角C-A₁E-D的平面角                                         10分

              又∵A₁D=

              ∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

              ∴∠A₁DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解)

20.解：由已知得：

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

              則有函數f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當x=1時不恒成立

          (2)當x≠1時，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

21.解：(1)經觀察得第一行有2⁰個數，第二行有2¹個數，第三行有2²個數，第四行有2³個數------

              因此前n行有2⁰+2¹+2²+2³+---+2^n-1=個數

              所以，第n行的最后一個數是2ⁿ-1                                              4分

          (2)由(1)知，前n-1行菜有2^n-1-1個數，因此，第n行的第一個數為2n-1,第n行的最后一個是2n-1,它們構成公差為1的等差數列。

              因此，由等差數列前n項和公式有：

                              8分

          (3)因為2¹⁰=1024

                       2¹¹=2048

                       2¹⁰<2008<2¹¹

               所以2008位于第11行

              該行第一個數是2¹⁰=1024，由2008-1024+1=985

              所以2008是第11和的985個數 。                                              12分

22.解：(1)由已知可設F(c，0)，Q(x₁,y₁)

         則

         ∵

         ∴c(x₁-c)=1

         ∴x₁=                                                                                    2分

       又直線FQ的方程為：y=tanθ(x-c)

       ∴y₁=

       而S=

              =

              =tanθ                                                                                     4分

       又已知<S<2

       ∴      tanθ<4

       又θ為銳角

       ∴<arctan4                                                                                7分