題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數學培優學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數, a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.
1.B.點拔：記命題p的形式為“若A，則B”，則q的形式為“若B，則A”，r的形式為“若
B，則A”，因此，p是r的逆否命題.
2.D點拔：∵λ1a+λ2b=λ1(1，2)+λ2(2，3) = (λ1+2λ2+3λ2) = c = (3，4),
∴
3.C點拔：當f′(x)<0時，f(x)遞減；當f′(x)>0時，f(x)遞增.
4.A點拔：采用插空法，得7×8×9=504.
5.B點拔：∵a3+a6+a9=(a1+a4+a7)+6d, ∴27=39+6d, ∴d=-2.
∵a1+a4+a7=39, ∴3a1+9d=39,得a1=19.
故S9=9a1+
6.D點拔：展開式的通項公式Tr+1=C
令5-2r=-1,得r=3,∴T4=C53?2-2?(-2)3?x-1=-20?
的系數為-20.
7.D點拔：設M(x,y),N(0，1)，直線MN的傾斜角為α，則可得α∈[0,
]∪[
],所以u=
[-1，1].
8.A點拔：設直線l的方程為x = ty+b代入y2 = 8x中，得y2-8ty-8 = 0, ∴y1y2 = -8b.
又∵y1y2=16, ∴-8b=16,b=-2, 直線l的方程為x=ty-2, 過定點A (-2，0)
9.B點拔：∵AC∥EF，EF⊥DE，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD.∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，∴AB、AC、AD兩兩垂直.
VA-BCD=
=
10.C點拔：∵f(x+4)=f(-x)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數，f(x)=0在區間[-2，18]上的實數根依次為-1，1，3，5，7，…，17，其總和為-1+1+3+5+…+17=-1+
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11.(1，2)點拔：采用根軸法求解.
12.-
點拔：y=
,∴ymax=
,又∵ymax=
.令
則a+b=
13.S
?S△ABH 點拔：易證H為△ABC的垂心.
如圖，S?S△ABH.
14.
點拔：P=1-
15.4點拔：∵1*2=3，且2*3=4，
∴
∴x*y=-(6c+1)x+2(c+1)y+cxy.
由x*m=x恒成立得 -(6c+1)x+2(c+1)m+cmx=x恒成立
即(6c-cm+2)x=2(c+1)m恒成立 ∴
∵m≠0,∴由②得c=-1，代入①，得m=4.
三、解答題：本大題共6小題，共75分.
16.∵|c|=
,∴3sin2
, ………………(2分)
即
,
即3cos(α+β)=cos(α-β), ………………(6分)
即3cosαcosβ-3sinαcosβ=cosαcosβ+sinαsinβ,
即2cosαcosβ=3sinαcosβ
∵a與b不垂直，∴a?b≠0,即cosαcosβ≠0
∴由2sinαsinβ=cosαcosβ得tanαtanβ=
………………(12分)
17.(Ⅰ)記甲、乙、丙三人獨立做對這題的事件分別為A、B、C，
則P(A)=
得P(C)=
…………………………………………………………………………(3分)
由P(B?C)=P(B)?P(C)=
得P(B)=
故乙、丙兩人各自做對這道題的概率分別為 ………………………(6分)
(Ⅱ)甲、乙、丙三人中至少有兩人做對這道題的概率為
P(
)
=P(
)+P(A
)+P
=P(
)
=
………………………(12分)
18.(Ⅰ)∵an+an+2=2an+1,∴an-2an+1+an+2=0,即x=-1是方程anx2+2an+1x+an+2=0的相同實數根. ………………………(4分)
(Ⅱ)∵an=a1+(n-1)d=nd,∴方程即為nx2+2(n+1)x+(n+2)=0,
即(nx+n+2)?(x+1)=0,∴cn=-
. ……………………(8分)
(Ⅲ)∵bnbn+1=
∴Sn=4
……(12分)
19．(I)連結AE∵AB=AC，且E為BC的中點，∴AE⊥BC
∵BBl⊥平面ABC，∴AE⊥BBl，∴AE⊥平面BCClBl，
∴平面DBlE⊥平面BCClBl． ………………………………………………(4分)
(Ⅱ)延長AB至F，使AB=BF，連結B1F、EF．
在△EBF中，EF2=BF2+BE2-2BE?BF?cosl35° =16+8―2×4×2×(-
)=40．
B1E2=BBl2+BE2=16+8=24，B1F2=A1B2=32．
在AEBlF中，cos∠EBlF=
∴∠EBl F=arccos
∵B1F∥A1B，∴∠EB1F即為異面直線A1B與B1 E所成的角．
故異面直線A1B與B1E所成的角的大小為arccos
……………………(8分)
(Ⅲ)作C1 H⊥B1E于H．∵平面DBlE平面BCClBl，∴C1 H⊥平面DBlE，
∴C1H的長即為點C1到平面DB1E的距離．
∵△B1 HCl∽△B1
BE，∴
∴C1H=
故點C1到平面DB1E的距離為導
.………………………………………(12分)
20．(I)鐵盒子的底面邊長為2a-2x，高為x，容積V=(2a-2x)2?x=4x(a-x)2． …(4分)
(11)∵V=4x3-8ax2+4a2x，∴V′=12x2-16ax+4a2．
令V′=O，得x=
，或x=a． …………………………………………………(8分)
①當0<t<時，V(x)在(0，t]上是單調增函數，
∴此時V (x)max=V(t)=4t(a-t)2； …………………………………………(11分)
②當
≤t<a時，V(x)max=V()=
a3． …………………………………(13分)
21．(I)m+λn=(0，a)+λ(1，0)=(λ，a)=2(1，
)(λ≠0)，
n+2λm=(1，0)+2λ(0，a)=(1，2λa)．
∴兩直線的方程分別為y+a=x和y-a=2λax，
兩式相乘，得y2-2a2x2=a2 …………………………………………………(6分)
當λ=0時，兩直線的方程分別為x=0和y=a，交點為P(0，a)，
符合方程y2-2a2x2=a2．
綜上，得曲線C的方程為y2-2a2x2=a2 ……………………………………(7分)
(Ⅱ)∵a=，∴點P的軌跡方程為y2-x2=
曲線C為雙曲線，E(0，1)為雙曲線的一個焦點．
①若直線l的斜率不存在，則其方程為x=0，l與雙曲線交于M
此時
.
……………………………………………………………(8分)
②若直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+1，代人y2-x2=
得2(k2-1)x2+4kx+1=0
∵直線l與雙曲線交于兩點， ∴△=(4k)2-8(k2-1)>0，且k2-1≠0，解得k≠±1．
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
=(x1，y1-1)?(x2，y2-1)=(xl，kx1)?(x2，kx2)
=x1x2+k2x1x2=(k2+1)xlx2=
.
……………………(11分)
記=t,則t=得k2=
.
∵k≠±1,k2≥0，且k2≠1,∴≥0，且≠1，
得t>，或t≤-，即∈(-∞，-)U(，+∞)．
綜上，得的取值范圍是(-∞，)U[，+∞]．………………(14分)
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