題目列表(包括答案和解析)
滿足條件
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線
與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。
的取值范圍；
且曲線E上存在點(diǎn)C，使
,求
的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)．（本小題滿分12分）已知兩直線
：
和
：
，
（I）若與交于點(diǎn)
，求
的值；
（Ⅱ）若
，試確定需要滿足的條件。
（本小題滿分12分）
已知圓
,定點(diǎn)
，
為圓
上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
上，點(diǎn)
在
上(
為圓心)，且滿足
，
，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)
作傾斜角為
的直線
交曲線于C、D兩點(diǎn)．若點(diǎn)
恰在以線段CD為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
（本小題滿分12分）
已知圓
,定點(diǎn)
，
為圓
上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
上，點(diǎn)
在
上(
為圓心)，且滿足
，
，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)
作傾斜角為
的直線
交曲線于C、D兩點(diǎn)．若點(diǎn)
恰在以線段CD為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
（本小題滿分12分）
已知圓
,定點(diǎn)
，
為圓
上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
上，點(diǎn)
在
上(
為圓心)，且滿足
，
，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)
作傾斜角為
的直線
交曲線于C、D兩點(diǎn)．若點(diǎn)
恰在以線段CD為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
| |
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到10頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
B
D
B
A
C
A
C
A
B
（1）已知集合，集合，則集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）復(fù)數(shù)的虛部為
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，下面結(jié)論正確的是
（A）在處連續(xù) （B）
（C） （D）
（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為
（A） （B） （C） （D）
（5）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于
（A） （B） （C） （D）
(7) 如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是
（A） （B）
（C） （D）
(8) 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達(dá)到最大；在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為
（A） （B） （C） （D）
(9) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為
（A） （B） （C） （D）
(10) 已知球的半徑是，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是
（A） （B） （C） （D）
（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，則是的
（A）充分條件 （B）充分而不必要條件
（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件
（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。
（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點(diǎn)，則與平面所成角的大小是________________（用反三角函數(shù)表示）
（14）設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，又的數(shù)學(xué)期望，則________________;
（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)
作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則
________________;
（16）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；
（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：
① ②
③ ④
⑤
其中關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”______①，③__________;（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）
三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本大題滿分12分）
已知是三角形三內(nèi)角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）∵ ∴ 即
,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由題知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去 ∴
∴
（18）（本大題滿分12分）
某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）
本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；
（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件
解法1：
解法2：
所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為
（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以，這三人該課程考核都合格的概率為
（19）（本大題滿分12分）
如圖，在長方體中，分別是的
中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱錐的體積。
本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面，面
∴面面 ∴面
（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面
作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中，，從而
在中，
故：二面角的大小為
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴
方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
（Ⅰ）
取，顯然面
，∴
又面 ∴面
（Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則∵
設(shè)，則
又
由，及在直線上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故：二面角的大小為
（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則
又
∴ 即 ∴可取
∴點(diǎn)到平面的距離為
∵，
∴
∴
（20）（本大題滿分12分）
已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設(shè)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計(jì)算
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時(shí)考查分類討論的思想方法，滿分12分。
解：（Ⅰ）由題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列
前項(xiàng)和，
（Ⅱ）
（21）（本大題滿分14分）
已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積
本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。
解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有
解得
又∵
依題意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直線的方程為
設(shè)，由已知，得
∴，
又，
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得
得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
（22）（本大題滿分14分）
已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。
證明：（Ⅰ）由
得
而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
（Ⅱ）證法一：由，得
∴
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立
即證成立
∵
設(shè)，則
令得，列表如下：
極小值
∴
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
證法二：由，得
∴
∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)
∴
設(shè)，
則，列表：
極小值
∴ 即
∴
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
錄入：四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學(xué)
程 亮
參考答案
一．選擇題：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
B
D
B
A
C
A
C
A
B
（1）已知集合=，集合，則集合，選C.
（2）復(fù)數(shù)=,所以它的虛部為－2，選D.
（3）已知，則，而，∴ 正確的結(jié)論是，選D.
（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.
（5）從圖象看出，T=，所以函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個(gè)單位，
即=，所以選D.
（6）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，
則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B.
(7) 如圖，已知正六邊形，設(shè)邊長，則∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 數(shù)量積中最大的是，選A.
(8) 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達(dá)到最大；在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為，選C.
(9) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選A.
(10) 已知球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C.
（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若，
則，則，
∴ ，，
又，∴ ，∴ ，，
若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，
所以是的充要條件，選A.
（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除。
所有的三位數(shù)有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有個(gè)；② 若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，共有個(gè)；③ 若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有個(gè)，這樣能被3 整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為=，選B。
二填空題：
（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點(diǎn)，設(shè)，則，，O點(diǎn)在底面的射影為底面△ABC的中心，=，又，與平面所成角的正切是，所以二面角大小是.
（14）設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，所以
，即，又的數(shù)學(xué)期望，則
，即，,∴ .
（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，，同理其余兩對(duì)的和也是，又，∴ =35
（16）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；
（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：
①,滿足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；
②,若存在，則，矛盾，∴ ②不符合要求；
③,取，滿足要求，∴ ③符合要求；
④，兩個(gè)二次三項(xiàng)式相加得到的可能不是二次三項(xiàng)式，所以④不符合要求；
⑤，兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù)，∴ ⑤不符合要求，
這樣關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的有①③。
三．解答題：
17．本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）∵ ∴ 即
,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由題知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去 ∴
∴
18．本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；
（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件
解法1：
解法2：
所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為
（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以，這三人該課程考核都合格的概率為
19．本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面，面
∴面面 ∴面
（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面
作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中，，從而
在中，
故：二面角的大小為
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴
方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
（Ⅰ）
取，顯然面
，∴
又面 ∴面
（Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則∵
設(shè)，則
又
由，及在直線上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故：二面角的大小為
（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則
又
∴ 即 ∴可取
∴點(diǎn)到平面的距離為
∵，
∴
∴
20．本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時(shí)考查分類討論的思想方法，滿分12分。
解：（Ⅰ）由題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列
前項(xiàng)和，
（Ⅱ）
21．本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。
解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有
解得
又∵
依題意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直線的方程為
設(shè)，由已知，得
∴，
又，
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得
得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
22．本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。
證明：（Ⅰ）由
得
而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
（Ⅱ）證法一：由，得
∴
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立
即證成立
∵
設(shè)，則
令得，列表如下：
極小值
∴
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
證法二：由，得
∴
∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)
∴
設(shè)，
則，列表：
極小值
∴ 即
∴
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
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