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(12分)如圖所示，一個光滑圓筒直立于水平桌面上，圓筒的直徑為L，一條長也為L的細繩一端固定在圓筒中心軸線上的O點，另一端拴一質量為m的小球．當小球以速率v繞中心軸線OO′在水平面內做勻速圓周運動時(小球和繩在圖中都沒有畫出，但不會碰到筒底)，求：

(1)當v＝時繩對小球的拉力大小；

(2)當v＝時繩對小球的拉力大小．

圖13

（1）為使太空城的居民能如同在地球上一樣具有“重力”，以適應人類在地球上的行為習慣，太空城在電力驅動下繞自己的中心軸OO′以一定角速度轉動，試求其轉動的角速度.

（2）實際上，月球不是繞著地心公轉，而是地球、月球在相互的引力作用下繞它們連線上的一固定點C做勻速轉動，如圖乙.試求該點C與地球球心的距離.（設地球質量為M₁，月球質量為M₂，地月中心距離為r）

（3）太空城的首選位置在與月球、地球相距為r的D處，如圖13乙所示，這里，太空城在月球、地球引力的共同作用下，相對地球、月球靜止.試證明太空城受地球、月球對其合力方向指向C點.